教学内容
§1.1 两个基本计数原理（2）
教学目标要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能根据具体问题的特征，选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题；
（2）通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解
决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力．
教学重点分类计数原理与分步计数原理的区别和综合应用．
教学难点分类计数原理与分步计数原理的区别和综合应用．
教学方法和教具
教师主导活动学生主体活动一．问题情境
复习回顾：1．两个基本计数原理；
2．练习：
（1）从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、
分母，则可产生不同的分数的个数是，其中真分数的
个数是．
（2）①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；
②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；
③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；
④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；
⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数．
二．数学运用
1．例题：
例1 用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同
的颜色，共有多少种不同的涂法？
分析完成这件事可分四个步骤，不妨
设①、②、③、④的次序填涂．
解：第一步，填涂①，有4种不同颜色
可选用；
第二步，填涂②，除①所用过的颜色外，
还有3种不同颜
色可选用；
第三步，填涂③，除①、②用过的2种
颜色外，还有2种
不同颜色可选用；
第四步，填涂④，除②、③用过的2种颜色外，还有2种不同颜色可
选用．
⨯⨯⨯=种不同的方法，即填涂这张
所以，完成这件事共有432248
地图共有48种方法．
答共有48种不同的涂法．
思考：如果按①、②、④、③的次序填涂，怎样解决这个问题？
例2 由1，2，3，4可以组成多少个自然数（数字可以重复，最多只能是四位数）？
分析：按自然数的位数多少，可以分为以下四类：一位，二位，三位，四位的自然数，而在每一类中，又可以分成几步进行．
解：组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；
第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4416
⨯=（个）；
第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一位都可以从4个不同的数字中任取一个，共有44464
⨯⨯=（个）；
第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一位都可以从4个不同的数字中任取一个，共有44256
=（个）．
由分类计数原理，可以组成的不同自然数的个数为41664256340
+++=（个）．
[变式延伸] 从1到200的这200个自然数中，各个位数上都不含数字8的共有多少个？（162）
说明：（1）在同一题目中牵涉两个原理时，必须搞清是先“分类”，还是先“分步”；“分类”和“分步”的标准又是什么？
（2）本题是先分类，后分步，按自然数的位数“分类”，按组成数的过程“分步”．
例3 在1到20共20个整数中任取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？
解：第一类：两个偶数相加，由分步计数原理，共有10990
⨯=（种）不同的取法，由于两个偶数相加时，与次序无关，即2+4和4+2是同
一个数字，因此适合题意的不同取法总数共有90
45
2
=（种）；
第二类：两个奇数相加，由分步计数原理，共有109
45
2
⨯
=（种）
不同的取法．
由分类计数原理，共有45+45=90（种）不同取法．
[变式延伸]在1和20共20个整数中任取两个相加，使其和大于20的不同取法共有多少种？答案：100
例4 某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？
解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：
第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6×2＝12种，
故共有8+12=20种不同的选法．
2．练习：用1，2，3可以写出多少个小于1000的正整数？
五．回顾小结：
分类计数原理与分步计数原理的综合应用
六．课外作业：
P习题1．1 第5，6，7，8，9，10，11题
课本9
板书设计
教后札记。