❖ 变式: ❖ (1)4个人分到3个车间,共有多少种分发? ❖ (2)4个人分工栽3棵树,每人只栽1棵,共有多少
种不同方案?
拓展（: 1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三
例2、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三 面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆 上纵向排列，共可以组成多少种不同的信 号？
例3、为了确保电子信箱的安全，在注 册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站 设置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的 1个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个 数字中的一个。这样的密码共有多少个？
排数字问题
例4 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位 数字不允许重复的四位数?
变式:
（1993年全国高考题）同室4人各写1张 贺年卡，先集中起来，然后每人从中各 拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡 不同的分配方式有( )
C1
解:如图,从总体上看A ,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 根据分类计数原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理（乘法原理） 做一件事情，完成它需 要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同 的方法，那么完成这件事有
N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件
事，有n类方式”，即每种方式都可以独立地
完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此 之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一 种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个 条件，才能直接用加法原理，否则不可以。
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件
事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足
以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个 步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有 步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立， 即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不 同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直 接用乘法原理。
4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路 可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可 通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
解:从总体上看,由甲到丙有
两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙,
又需分两步, 所以 m1 = 甲地
乙地
2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙,
也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有
N = 6 + 8 = 14 种不同的 丁地
丙地
走法。
提示：对于有些较“复杂”的问题，往往不是单纯 的“分类”、“分步”就可解决的，而往往将两者结合使 用，一般是先“分类”，再在每一类中进行“分步”。
例1、某艺术组有9人，每人至少会钢 琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴， 3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各 一人，有多少种不同的选法？
Hale Waihona Puke 1.1 两个基本计数原理（二）
什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？
分类计数原理（加法原理） 做一件事情，完成它可以 有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类 办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn 种不同的方法。那么完成这件事共有
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
问题拓展:
❖ (1) 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
(2)．集合 A={1,2,-3 },B={-1,-2,3,4}．从 A、B 中各取 1个元素作为点P(x,y) 的坐标．
2.如图,该电路, 从A到B共有多 少条不同的线 路可通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类计数原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8
条不同的线路可通电。
当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2 类求解。
m1
点评: 我们可以把
A
m2
分类计数原理看成 B “并联电路”;分
……
步计数原理看成“
串联电路”。如图
mn
:
A m1
B m2 …... mn
课堂练习3
如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从它的一个顶点爬 到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
（1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？
(3)、某赛季足球比赛的记分规则
是：胜一场得3分，平一场得1分，
负一场得0分。一球队打完15场比
赛积33分，若不考虑顺序，该队
胜、平、负的情况共有（ ）
（A）5种
（B）4种
（C）3种
（D）6种
映射个数问题:
❖ 例5 设A={a,b,c,d},B={x,y,z},从A到B共有多 少种不同的映射?
两个基本计数原理二
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿