9) cscxcotxdx cs x c C
10) exdx exC
11) axdx a x C ln a
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4.1.2
Initial Value Problems (初值问题)
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y f x f x0 y0
The combination of a differential equation and an initial condition is called an initial value problem （初值问题）.
Chapter 4 Integration
4.1 Indefinite Integrals, Differential Equations, and Modeling
4.2 Integral Rules, Integration by Substitution 4.3 Estimating with Finite Sums 4.4 Riemann Sums and Definite Integrals 4.5 The Mean Value and Fundamental Theorems 4.6 Substitution in Definite Integrals 4.7 Numerical Integration
sinx1cosx,x .
sinx+1 is also an antiderivative of cosx.
Supposed x xfx,x I, then
xx C
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Example.
x2dx
1 3
x3
C
sinx1dx cosxxC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Integral formulas(基本积分表)
Solution.
y 0 y C1
Thus yC1xC2
y02 C12. y00 C20.
y 2x
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Exercises
P319 14, 15, 23, 24. P320 25, 26, 36, 42.
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Example 4. Find the curve whose slope at the piont
(x,y) is 3 x 2 if the curve is required to pass through the point (1,-1).
Solution.
y 3x2
Differential equation
y 3x2dx x3 C
It pass through (1, -1) ,
Initial condition
thus
11C
C2
Therefore y x3 2.
y3x2,y11.
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Example. y0 ,y02 ,y00 .
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4.1
Indefinite Integrals, Differential Equations, and Modeling
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Example. sinx cosx,x .
sinx is an antiderivative of cosx.
1) kdx kxC ( k is a constant)
2) xdx 11x1C
3)
dx x
lnx C
(1)
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4) cosxdxsixnC
5) sinxdx co x C s
6) sec2xdxtaxn C
7) csc2xdx co x C t
8) secxtanxdxsex cC