2 4 8 16
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Example 2. Consider the Geometric series
a ar ar2 ar3 arn1 arn1 arn a 0
n1
n0
Solution. Consider the partial sum
n1
n0
Solution.
Ifr1,Sna 1 rarn . 1 r
r 1,
lim
n
Sn
a 1 r
,
r 1,
lim
n
Sn
,
converge. diverge.
If r 1, a a a a
lim
n
Sn
lim na n
diverge.
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1
10
1
2n
n1
n1 n
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Exercises
P637 2, 4, 11, 12, 14, 15, 21 25, 26, 27, 35, 45.
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Analysis.
ln n 1 ln n
1
1 n
Sn
1
1 2
1 3
1 n
n n1
ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln 4 ln 3
ln n 1 ln n ln n 1
lim
n
Sn
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Example 9. Applying the Theorem 7.
Sn a ar ar2 ar3 arn1
a 1 r r2 r3 rn
a
1 rn
1
r
, r 1.
a arn 1r 1r
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Example 2. Consider the Geometric series
ar ar2 ar3 arn arn1 arn a 0
11 1 1 1 2 1
2 4 8 16
11 2
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Example 3. Consider the Geometric series
n1
3
1 2
n1
3 11
2
n0
1 2
n
1
1 1
2
2 3
24 8
diverge.
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Example 4. Express the repeating decimal 5.2323… As the ratio of two integers.
n1
n 1 2
Solution.
2n 1
n2 n 12
1 n2
n
1
12
Sn
1
n
1
12
1
(n ）
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Proof. an SnSn1
ln i m a nln i m S nS n 1
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
SS 0
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1
n1 n n 1
Solution.
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
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2n 1
Example 6. Find the sum of the series
n2
Example 7. Applying the nth-term test
n
n1 n 1
111111
1n n0
n 1n
n 1
lim 1n
n
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lim
n
an
0
an converges?
n 1
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Example 8. 1 Diverges! n1 n
5
n1 2n
2 3n1
5 2n
n1
2 3n1
n1
5
1 2
1
2n
n1
3n1
n1
5 1 2 2 1 11 2 11 3
2
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Example 10. Applying the Theorem 7.
1
n1 2n
1 10n
1 2n
n1
1
n1 10n
Solution. 5.232323
5 0.23 0.0023 0.000023
23 5 100
23 10000
23 1000000
23 5 100
1
1 100
5 23 518 99 99
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Example 5.
Find the sum of the series
Convergence 8.6 Power Series 8.7 Taylor and Maclaurin Series 8.8 Applications of Power Series
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8.3
Infinite Series
(无穷级数)
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11 1 1 1 2
Chapter 8 Infinite Series
8.1 Limits of Sequences of Numbers 8.2 Subsequences, Bounded Sequences, and… 8.3 Infinite Series 8.4 Series of Nonnegative Terms 8.5 Alternating Series, Absolute and Conditional