lim C C
n
Solution. We must find the integer N such that for all n
nNCC
It is obvious that we can obtain N as
N 1
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Example 3. Show that 1 n1 diverges.
Solution.
1n
lim n n
0
1n
n
1 n
, lim 1 0. n n
1n
lim
0
n n
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Example 6. Applying the Sandwich Theorem
cosnsinn
lim
n
3n2 n
Solution.
0
cos n sin n 3n2 n
Solution. Suppose the sequence converges to some number L.
nN1n1L
For 1 , we have
2
1n1 L 1
2
L 1 1 1 L1 1 1 L 3
2
2
22
2
L 1 1 1 L11 3 L1
2
2
22
2
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8.1
Limits of Sequence of Numbers
(数列的极限)
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Example 1. Applying the definition to show that
n
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Example 8. Applying the L’Hospital Rule
Solution.
ln n lim n n
lim ln x lim 1 0
x x
x x
lim ln n 0 n n
lnn 1n 1 lim lim lim0 n n n 1 n n
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Example 9. Applying the L’Hospital Rule
limn41n4
n
Solution.
e n4 e 1n4 lnn41n4
1 lnn4
n4
e limn41n4
lim1lnn4
en n4
lnn4
lim n n4
n
lim 1
e n n4
limlnn1lnn1 1
1 n
en
n
lim2n2 n21
en
e2
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Exercises
P617 14, 18, 24, 26, 29, 30, 32, 35, 43, 56.
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lim 1 1 n n 1 1 n
lim 1 1 n
n
lim 1 1 n
1 1
1
n
lim
n
4 4n6 n6 3
lim 4 4n6 n n6 3
4 4n6
lim
n
n6 3
4
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Example 5. Applying the Sandwich Theorem
Convergence 8.6 Power Series 8.7 Taylor and Maclaurin Series 8.8 Applications of Power Series
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Introduction
1 1 1 1 1
2 4 8 16
1 1 1 1 1 1
lim 1 0 n n
Solution.
We must find the integer N such that
for all n
n N 1 0
n
1us that we can obtain N as
N1
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Example 2. Applying the definition to show that
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Example 4. Applying the limit rules
lim
n
1 n
Solution.
lim n 1 n n 1
4 4n6
lim
n
n6 3
lim
n
1 n
lim 1 1
n
n
lim1lim1 10
n
n n
0
lim n 1 n n 1
1 3n2 n
,lim 1 0. n 3n2 n
lni mco3snn2sinnn0
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Example 7. Applying the Theorem 3
1
lim 2 n
n
Solution.
1
lim 1
li m 2 n 2 n n 2 0 1
e0
1
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Example 10. Applying the L’Hospital Rule
Solution.
lim
n
n n
1 1
n
n 1n n 1
eln
n1n n1
n ln n 1
e n1
lni mnn11n
e e limnlnn1 n n1
lim ln n1 n n1
Chapter 8 Infinite Series
8.1 Limits of Sequences of Numbers 8.2 Subsequences, Bounded Sequences, and… 8.3 Infinite Series 8.4 Series of Nonnegative Terms 8.5 Alternating Series, Absolute and Conditional