1
4x2
3 2
2x
2
1. Critical point x 0
2. Endpoint
f 0 1 max or min?
2
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Example 7. Find the absolute maximum and minimum
values of f t8tt4on the interval 2 ,1 .
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12220y2x2
x 14420y2
c5 0 0 0 0x3 0 0 0 0y
cy 5 0 0 0 01 4 4 2 0 y2 3 0 0 0 0 y, y0,20.
Our goal now is to find the minimum value of c(y).
Critical point
y0,y20
Endpoint
c01,166,190 c201,200,000
c111,080,000
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The least expensive connection costs 1,080,000 dollars, and we achieve it by running the line underwater to the point on shore y=11 mi from the refinery.
Differential Equations 3.5 Modeling and Optimization 3.6 Linearization and Differentials 3.7 Newton’s Method
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3.1
Extreme Values of Functions
y
How to find extreme value?
O ax 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x
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yfx,xa,b.
All kinds of the points where the function achieves extreme values.
Example 1.
用输油管把离岸12英里的一座油井和沿岸往下 20英里处的炼油厂连接起来(参见附图)。如果 水下输油管的铺设成本为每英里50000美元， 而陆地输油管的铺设成本为每英里30000美元 。水下和陆地输油管怎么样组合才能使连接费 用最少？
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1,200,000 dollars 1,166,190 dollars 1,081,025 dollars
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50000美元
30000美元
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1. Smallest amount of underwater pipe
Dollar cost 1 2 5 0 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0
1. Critical point
a,b
2. Endpoint of the domain of f
x a,b
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Example 5. Find the absolute maximum and minimum
values of f x x23on the interval 2, 3 .
y 2
1
O 1 2x
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3.1.3
Local (Relative) Extreme Values 相对极值（极值）
目录 上页 下页 返回 结束Leabharlann 目录 上页 下页 返回 结束
x1 , x4,b x 2 , x5, a
x3
Local Maximum Value Point Local Minimum Value Point is not a extreme value point
values of f x x23on the interval 2, 3 .
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Example 6. Find the absolute maximum and minimum
values of f x1 4x2.
Solution.
f x 1 4x2 4 x2 1 2
1,081,025
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3.1.2
Absolute (Global) Extreme Values 绝对极值（最值）
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Example 2.
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Example 3.
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定理1. 闭区间上连续的函数必定取到最大值与 最小值。
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Example 4. Extreme Depending on Continuity on Closed Interval
y 1
yx,x0,1
x 1, 0 x 1
f
x
1 , x 1
x 3, 1 x 2
O 1x
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c y 5 0 0 0 01 4 4 2 0 y 2 3 0 0 0 0 y ,y 0 ,2 0 .
cy50000 20y 30000 0 14420y2
5 0 0 0 0 2 0 y 3 0 0 0 01 4 4 2 0 y 2
y 11 or y 2 9
Chapter 3 Applications of Derivatives
3.1 Extreme Values of Functions 3.2 The Mean Value Theorem and Differential
Equations 3.3 The Shape of a Graph 3.4 Graphical Solutions of Autonomous
1,200,000
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2. All pipe under water
1, 200, 000
Dollar cost 14440050000
1,166,190
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3. Something in between
1, 200, 000 1,166,190
Dollar cost 1 4 4 1 0 0 5 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0
Solution. f t 8t t4 4 2t3
1. Critical point t 3 2 1
2. Endpoint t 2,1
f232,f17.
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Example 7. Find the absolute maximum and minimum
values of f t8tt4on the interval 2 ,1 .
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y 3x2 0
x 0 A Critical Point
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y 1 x2 3 1
3
33 x2
x0
A Critical Point
So, critical points need not give extreme values.
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Solution.
f x x2 3 2 x 1 3 3
1. Critical point x 0 2. Endpoint x 2,3
f 0 0, f234,f339.
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Example 5. Find the absolute maximum and minimum
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Exercises
P234 16. P235 29, 34, 35. P236 44, 45.
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The relation between critical point and extreme value point
Supposed a local maximum value
fclimfxfc
x c xc
fcxl im c f
xfc
xc
0
fcxl im c fxx cfc 0
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3.1.1 The Drilling-Dig Problem 3.1.2 Absolute (Global) Extreme Values 3.1.3 Local (Relative) Extreme Values 3.1.4 Finding Extreme Values