如果y1 ( x ), y2 ( x )中的任意一个都不是另一个的常数倍,
y1 ( x ) 即 不恒等于非零常数, 则称y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, y2 ( x ) 否则称y1 ( x )与y2 ( x )线性相关。
定理8.2 如果y1 ( x ), y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关的解, 则 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解. 如 y1 cos x和y2 sin x是方程 y y 0的两个线性无关解.
方程(1)的任何两个线性无关的 特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证 因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x ) 和 的解, 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f( x ) y Q( x ) y 0 (1)
二、线性齐次微分方程解的结构
y P ( x ) y Q( x ) y 0
定理 8.1
(1)
设 y1 和 y2 是二阶线性齐次方程(1)的两个解,
则 y1 和 y2 的线性组合 y C1 y1 C 2 y2 也是方程(1)的解. 证 由假设有 y1 Py1 Qy1 0 y Py Qy2 0 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
(1)的通解： y C1 y1 C 2 y2
( 2)
其中 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关的 特解。
(2)的通解： y Y y * 其中Y 是(1)的通解, y* 是（2）的一个特解。
y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f1 ( x ) y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f 2 ( x )
的解, 则y1 ( x )与y2 ( x )分别是方程
的解. 定理8.5（叠加原理） 设 y1 ( x )与 y2 ( x )分别是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x )
如 y1 e x , y2 2e x都是方程 y y 0的解, 但是
y C1 y1 C 2 y2 (C1 2C 2 )e x实际上只含有一个任意
常数C C1 2C 2 , 所以y不是二阶方程的通解, 也就是说 二阶方程的两个解必须 满足一定条件,其组合才能构成通解.
8.5
线性微分方程 解的性质与解的结构
线性微分方程概念 线性齐次方程解的性质 线性非齐次方程解的结构 小结
一、线性微分方程
一 n 阶微分方程，如果方程中出现的未知函数及未 知函数的各阶导数都是一次的，这个方程称为 n 阶 线性微分方程。它的一般形式为： y ( n ) p1 ( x ) y ( n1) pn1 ( x ) y pn ( x ) y f ( x ) 其中 p1 ( x ) , pn ( x ) , f ( x )都是 x 的连续函数． 若 f ( x ) 0 则方程 y ( n ) p1 ( x ) y ( n1) pn1 ( x ) y pn ( x ) y 0 称为 n 阶线性齐次方程。 二阶线性微分方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) 当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程； 当 f ( x ) 0时， 二阶线性非齐次微分方程.
将 y c1 y1 c2 y2 代入(1)，有 (c1 y1 c2 y2 ) P (c1 y1 c2 y2 ) Q(c1 y1 c2 y2 )
c1 ( y Py1 Qy1 ) c2 ( y Py Qy2 ) 0 2 2
问题: y C1 y1 C 2 y2 一定是通解吗？
因此y1 y2是方程( 2)的解.又因y2是方程(1)的通解, 在 其中含有两个任意常数, 故y1 y2是非齐次方程的通解.
定理8.4
如果 y( x ) y1 ( x ) iy2 ( x ) 是方程 y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f1 ( x ) if 2 ( x )