例4、设 y1, y2, y3 是二阶非齐次方程(2) 的 3 个线性无
关解，求方程的通解 .
定理3、设 y1*, y2 *分别为 y'' P( x) y'Q( x) y f1( x) 与 y'' P( x) y'Q( x) y f2( x) 的特解，则 y1 * y2 *为方程 y'' P( x) y'Q( x) y f1( x) f2( x)
的特解.
例1、讨论下列函数的线性相关性。
(1)1,cos2 x,sin2 x; (2)0, x,e x; (3)1, x, x2 .
定理：两个非零函数 y1( x), y2( x)线性相关
y1( x), y2( x) 成比例，即k 0, 使得阶线性微分方程解的结构
定理2、若 y * ( x) 是非齐次方程(2) 的特解， Y C1 y1( x) C2 y2( x) 是齐次方程(1)的特解，则 y Y y * 是非齐次方程(2) 的通解.
例3、设 y'' y x2 , 则 Y C1e x C2e x 是其通解. 易验证 y* x2 2 是 y'' y x2 的一个特解， 故方程 y'' y x2 的通解为： Y C1e x C2e x x2 2.
定理：二阶线性齐次微分方程的解集构成一个二维
线性空间.
定理1、若 y1( x), y2( x) 是齐次方程(1)的两个线性无关解， 则 y C1 y1( x) C2 y2( x) (C1,C2 是任意常数） 是方程 (1) 的通解.
例2、验证下列函数是否是微分方程的通解.
(1) y'' y 0,
y C1e x C2e x;
(2)x2 y''2xy'2 y 0, y x(C1 C2 x).
2、非齐次方程解的结构
性质2、若 y1 * ( x), y2 * ( x) 是方程 (2) 的解，则 y1 * ( x) y2 * ( x)是方程 (1) 的解 .
性质3、若 y( x) 是方程(1)的解，y * ( x)是方程(2)的解，则 y( x) y * ( x) 是方程 (2) 的解.
形式：y P( x) y Q( x) y f ( x)
线性性：y, y, y是一次的.
齐次： f ( x) 0,即y P( x) y Q( x) y 0
(1)
非齐次：f (x) 0,即 y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
1、齐次方程解的结构
性质1：若 y1( x), y2( x) 是 (1)的两个解，则对任意常数 C1,C2 , 有 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (1) 的解 。