c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 x∈I ，
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
z = c′( x) = e
∫
2 y1 + p ( x ) y1 dx y1
当 pi ( x) ( i = 1, 2, L , n ) 均为常数时，称为常系数方程； 当 pi ( x) ( i = 1, 2, L , n ) 不全为常数时，称为变系数方程。
二阶线性微分方程的一般形式为
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x) 。
(1)
当 f ( x) ≡ 0 时，方程称为齐方程 :
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f 2 ( x)
的一个特解，则 的一个特解， y = y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = f1 ( x) + f 2 ( x)
的一个特解。 的一个特解。
性质 3
若 y1 ( x) 与 y2 ( x) 是方程
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x)
的任意两个特解， 的任意两个特解，则
y = y1 ( x) − y2 ( x)
是其对应的齐方程
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0
的一个特解。 的一个特解。
性质 4
若 y* = y1 ( x) ± i y2 ( x) 是方程
朗斯基 ( Wronsky ) 行列式
上有定义， 设函数 y1 ( x )、y2 ( x) 在区间 I 上有定义，且有一阶
导数， 导数，则行列式
y1 ( x) W [ y1 ( x), y2 ( x)] = ′ y1 ( x)
y2 ( x) ′ y2 ( x)
上的朗斯基行列式。 称为函数 y1 ( x)、y2 ( x) 在区间 I 上的朗斯基行列式。
该问题的解决归功于数学家刘维尔。 该问题的解决归功于数学家刘维尔。
的一个非零解。 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p ( x ) y′ + q ( x) y = 0 的一个非零解。 y2 ( x ) 线性无关的解： = c( x), 则 若 y2 ( x) 是方程的与 y1 ( x) 线性无关的解： y1 ( x) y2 ( x) = c( x) y1 ( x) ， 关键是求出 c( x) 代入方程中， 代入方程中，得
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0 。
的相对应的齐方程。 通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。
( 2)
我们讨论二阶线性方程的一般理论， 我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可 阶线性方程中。 自然推广至 n 阶线性方程中。
1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 (1) 叠加原理 若 y1 ( x) 和 y2 ( x) 是二阶齐线性微分方程
若存在不全为零的常数 c1 和 c2 ，使得
c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 x∈I ，
上是线性相关的。 则称函数 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上是线性相关的。 上是线性无关的。 否则称函数 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上是线性无关的。
当且仅当 c1 = c2 = 0 时，才有
的常数 c1，c2 (不妨设 c2 ≠ 0)，使
c1 cos x + c2 sin x ≡ 0
即 c1 ∆ tan x = − = c c2
x∈I ，
x ∈ I。
由三角函数知识可知，这是不可能的， 由三角函数知识可知，这是不可能的，故
cos x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。 线性无关的。
的通解。 是方程 (2) 的通解。
定理 2 若 h( x) + p( x) + q( x) = 0 ，则方程
h( x) y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0
必有一解 y = e x。
的特点： e 即可得证。 由函数 e x 的特点： x = (e x )′ = (e x )′′ = L，即可得证。
′ ′ ′ ( y1′ + p ( x) y1 + q ( x) y1 ) c( x) + (2 y1 + p ( x) y1 ) c′( x) + y1c′′( x) = 0。
是方程的解， 因为 y1 是方程的解，故得
′ ( 2 y1 + p ( x) y1 ) c′( x) + y1c′′( x) = 0。
y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)
为原方程的通解。 为原方程的通解。
例
解
的通解。 求方程 y′′ − 2 y′ + y = 0 的通解。
因为系数满足： 1 所以， 因为系数满足： − 2 + 1 = 0，所以，方程有解
y1 ( x) = e x。
由刘维尔公式 e ∫ y2 ( x) = e ∫ d x = xe x， (e x ) 2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
一、高阶线性微分方程的一般理论
n 阶线性方程的一般形式为 y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + L + pn −1 ( x) y′ + pn ( x) y = f ( x) 。 当 f ( x) ≡ 0 时，称为 n 阶齐线性微分方程； 当 f ( x) ≡ 0 时，称为 n 阶非齐线性微分方程；
= 0 + 0 = 0，
的解。 即 y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) 为方程 (2) 的解。
推广
若 yi ( x) ( i = 1, 2,L.n ) 是 n 阶齐线性微分方程
y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + L + pn −1 ( x) y′ + pn ( x) y = 0 的解，则它们的线性组合 (2)
y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = f1 ( x) ± i f 2 ( x)
的一个特解， 的一个特解，则 y1 ( x) 是方程
例
解
的通解。 求方程 ( x − 1) y′′ − x y′ + y = 0 的通解。 所以， 因为 ( x − 1) − x + 1 = 0 ，所以，
y = ex
y1(x) ≡常 数 y2 (x)
是原方程的一个解。 是原方程的一个解。
⇒ y1(x)、 2 (x)线 无 y 性 关
又容易看出： 也是原方程的一个解。 又容易看出： y = x 也是原方程的一个解。 而
个函数的情形。 朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。
若 W [ y1 ( x), y2 ( x)] ≠ 0 x ∈ I，
上线性无关。 则函数 y1 ( x)，y2 ( x) 在 I 上线性无关。
例
cos x sin x π W [cos x, sin x] = = 1 x ∈ (0, )。 − sin x cos x 2 故 cos x 与 sin x 在区间 (0,
− ( −2 ) d x x
故原方程的通解为
y = C1e x + C2 x e x = e x (C1 + C2 x)。
2. 二阶非齐线性微分方程解的结构 (1) 解的性质 性质 1 若 y * ( x) 是方程
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x)
的一个特解，而 y1 ( x) 是其对应的齐方程
(c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x))′′ + p ( x)(c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x))′ + q ( x)(c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)) ′ ′ = (c1 y1′( x) + c2 y′′ ( x)) + p ( x)(c1 y1 ( x) + c2 y′ ( x)) 2 2 + q ( x)(c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)) ′ ′ = c1 ( y1′( x) + p ( x) y1 ( x) + q ( x) y1 ( x)) ′ ′ + c2 ( y2′ ( x) + p ( x) y2 ( x) + q ( x) y2 ( x))