附录A 线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。

把包含未知函数和它的j 阶导数()j y(的方程称为常微分方程。

线性常微分方程的标准形式()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。

可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。

，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。

一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。

在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。

A.1 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为'()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为'()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y=，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -⎰= （ A.4）对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ⎰注意到上面等式的左端因此有两端积分其中C 是任意常数。

进一步有综上有如下结论定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --⎰⎰⎰=+⎰‘ （A.5）其中C 是任意常数。

观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -⎰加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -⎰⎰=⎰。

容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。

这符合线性方程解的结构规律。

例1 求解一阶常微分方程解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为其中C 是任意常数。

A.2 二阶线性常微分方程将具有以下形式的方程"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。

称"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程.A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

定理 A.2 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。

定理1 说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。

为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。

定义A.1设函数12(),(),,()n y x y x y x L 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n个不全为零的常数12,,n k k k L ，，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=L 在区间I 上恒成立，则称函数12(),(),,()n y x y x y x L 在区间上线性相关，否则称为线性无关。

例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。

特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。

有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（A.7）通解结构的定理。

定理A.3假设线性齐次方程（A.7）中，函数()()p x q x 与在区间I 上连续，则方程（A.7）一定存在两个线性无关的解。

类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。

定理 A.4 若12()()y x y x 与是二阶线性齐次常微分方程（A.7）的两个线性无关的特解，则1122()()y c y x c y x =+是该方程的通解，其中12,c c 是任意的常数。

从定理A.4可以看出二阶线性齐次常微分方程（A.7）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。

关于二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解，有如下结论定理 A.5 若函*()y x 是方程（A.6）的一个特解，()Y x 是方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解。

从定理A.4,A.5可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解的一般步骤：（１）求解与（A.6）相伴的齐次方程（A.7）的线性无关的两个特解12()()y x y x 与，得该齐次方程的通解1122()()()Y x c y x c y x =+；（２）求二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的一个特解*()y x ，那么方程（A.6）的通解为()()*()y x y x Y x =+对于一些相对复杂的问题，如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。

定理A.6 设二阶线性非齐次常微分方程为12"()'()()()y p x y q x y f x f x ++=+, （A.8） 且12*()*()y x y x 与分别是和的特解，则12*()*()y x y x +是方程（A.8）的特解。

A ．2．1 二阶常系数线性常微分方程的解法如果二阶线性常微分方程为"'()y py qy f x ++=, （A.9） 其中,p q 均为常数，则称为二阶常系数线性常微分方程。

以下分两种情形讨论方程（A.9）的解法。

一、二阶常系数线性齐次方程的解法此时问题为"'0y py qy ++=, （A.10） 考虑到方程中的系数,p q 均为常数，可以猜想该方程具有形如rxy e =的解，其中r 为待定常数，将'rx y re =和2"rx y r e =‘及rx y e =代入方程"'0y py qy ++=得， 2()0rx e r pr q ++=,由于0rx e ≠，因此，只要r 满足方程20r pr q ++=, (A.11)即只要r 是上述一元二次方程的根时，rxy e =就是（A.10）的解，方程(A.11)称为方程(A.10)的特征方程，它的根称为特征根。

关于特征方程(A.11)的根与微分方程(A.10)的解的关系有如下结论。

１． 特征方程具有两个不相等的实根12r r 与，即12r r ≠。

此时函数1212()()r x r xy x e y x e ==和都是微分方程(A.10)的解，且因1212r r x y e y -=≠（）常数，所以12()()y x y x ，线性无关，因而常微分方程的通解为1212()r x r x y x c e c e =+.２． 特征方程具有两个相等的实根，即122p r r ==-。

这时函数11()r x y x e =是微分方程(A.11)的一个特解，还需另找一个与之线性无关的特解2()y x 。

为此设21()()()y x u x y x =，其中()u x 为待定的函数，将2()y x 及其一、二阶导数代入方程(A.10)得，12111["(2)'()]0r x e u r p u r pr q u +++++=， 注意到12p r =-是特征方程的根，且10r x e ≠，因此只要()u x 满足"()0u x =“，则12()()r x y x u x e =就是微分方程(A.10)的解。

特别地取12()r x y x xe =，此时微分方程(A.11)的通解为1111212()()r x r x r x y x c e c xe c c x e =+=+.３． 特征方程具有一对共轭复根，12r i r i αβαβ=+=-与。

这时两个线性无关的特解()()12i x i x y e y e αβαβ+-==与是两个复数解。

为了便于在实数范围内讨论问题，我们再构造两个线性无关的实数解。

由欧拉公式cos sin ixe x i x =+，可得 1(cos sin )x y e x x αββ=+，2(cos sin )x y e x x αββ=-,于是由定理１知，函数121cos 2x e x y y αβ=+（），121sin 2x e x y y αβ=-（） 是微分方程(A.10)的解，容易验证它们线性无关，所以这时方程的通解可以表示为12()(cos sin )x y x e c x c x αββ=+ .上述求解二阶常系数线性齐次方程的方法称为特征根法，其具体步骤可总结如下 （１）写出所给微分方程的特征方程；（２）求出特征根；（３）根据特征根的三种不同情况求得对应的特解，并写出其通解。

例2 求解二阶齐次常微分方程（1）"0y y -=； （2）"0y y +=.解(1) 特征方程为210r -=，其根为121r =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12(),()x x y x e y x e -==，所以通解可以表示为12()x x y x c e c e -=+。

又cosh ,sinh 22x x x xe e e e x x --+-==，因而cosh sinh x x 和也是微分方程的解，并且它们也是线性无关的，因此也可以构成微分方程的基础解系，即方程的通解也可以表示为12()cosh sinh y x c x c x =+，这种表示方法在讨论某些问题时更加方便。

(2) 特征方程为210r +=，其根为12r i =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12()cos ,()sin y x x y x x ==，所以通解可以表示为12()cos sin y x c x c x =+。