第二章《轴对称图形》压轴题训练（1）1.在ABC ∆中，,10,AB AC BC AB AC ==，的垂直平分线分别交BC 于点,,4D E DE =，连接,AD AE ，则AD AE +的值为( )A. 6B.10C. 6或14D. 6或102.如图，BD 为ABC ∆的角平分线，且,BD BC E =为BD 延长线上的一点，BE BA =,过点E 作EF AB ⊥，垂足为F .下列结论:①ABD EBC ∆≅∆;②180BCE BCD ∠+∠=︒;③AD AE EC ==;④2BA BC BF +=.其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④3.在ABC ∆中，,AD CE 为高，这两条高所在的直线相交于点H ，若CH AB =，则ACB ∠ 的度数为 .4.如图，在四边形ABCD 中，110,90BAD B D ∠=︒∠=∠=︒，在,BC CD 上分别找一点,M N ，使AMN ∆的周长最小，此时AMN ANM ∠+∠的度数为 .5. P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一动点(不与点,A B 重合)，分别过点,A B 向直线CP 作垂线，垂足分别为,,E F Q 为斜边AB 的中点.(1)如图①，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 , QE 与QF 的数量关系是 .(2)如图②，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明.(3)如图③，当点P 在线段BA (或AB )的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.6.如图，在等腰三角形ABC 中，,AB AC D =是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上,且,AB AE AF =平分CAE ∠，交DE 于点F .(1)如图①，连接CF ，求证: ABE ACF ∠=∠;(2)如图②，当60ABC ∠=︒时，求证: AF EF FB +=;(3)如图③，当45ABC ∠=︒时，若BD 平分ABC ∠，求证: 2BD EF =.第2章 压轴题特训(2)1.如图，在PAB ∆中，,,,PA PB M N K =分别是,,PA PB AB 上的点，且,AM BK BN AK ==.若44MKN ∠=︒，则P ∠的度数为( )A. 44°B. 66°C. 88°D. 92°2.如图，1111222233334,,AB A B A B A A A B A A A B A A ====，,…，若70A ∠=︒，则11n n n B A A --∠的度数为( ) A. 702n ︒ B. 1702n +︒ C. 12n - D. 2702n +︒3.如图，,MP NQ 分别垂直平分ABC ∆边,AB AC ，若30PAQ ∠=︒，则BAC ∠的 度数为 .4.从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角为 .5.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，110AOB ∠=︒，,BOC D α∠=是ABC ∆外一点，且ADC BOC ∆≅∆，连接OD .(1)求证: COD ∆是等边三角形;(2)当150α=︒时，试判断AOD ∆的形状，并说明理由;(3)探究:当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形?6.如图，BAD ∆和BCE ∆均为等腰直角三角形，90BAD BCE ∠=∠=︒,M 为DE 的中点.过点E 作与AD 平行的直线，交射线AM 于点N .(1)当,,A B C 三点在同一条直线上时(如图①)，求证: M 为AN 中点.(2)将图①中的BCE ∆绕点B 旋转，当,,A B E 三点在同一条直线上时(如图②)，求证:CAN ∆为等腰直角三角形.(3)将图①中的BCE ∆绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由.参考答案(1)1.C2. D3. 45°或135°4. 140°5. (1)//AE BF QE QF =(2) QE QF =如图①，延长FQ 交AE 于点D∵Q 为AB 的中点∴BQ AQ =∵,BF CP AE CP ⊥⊥∴//BF AE∴FBQ DAQ ∠=∠在FBQ ∆和DAQ ∆中，FBQ DAQ BQ AQBQF AQD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴FBQ DAQ ∆≅∆∴QF QD =，即12QF FD =又∵AE CP ⊥∴EQ 是Rt DEF ∆斜边上的中线 ∴12QE FD = ∴QE QF =(3)结论QE QF =仍然成立，当点P 在线段BA 的延长线上时，如图②，延长EQ 、FB 交于点D∵Q 为AB 的中点∴AQ BQ =∵,BF CP AE CP ⊥⊥∴//BF AE∴1D ∠=∠在AQE ∆和BQD ∆中，123D AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AQE BQD ∆≅∆∴QE QD =，即12QE DE =又∵BF CP ⊥∴FQ 是Rt DFE ∆斜边DE 上的中线 ∴12QF DE = ∴QE QF =当点P 在线段AB 的延长线上时，图形类似，结论成立，证明类似，因此略.6.(1)∵AF 平分CAE ∠∴EAF CAF ∠=∠∵,AB AC AB AE ==∴AE AC =在ACF ∆和AEF ∆中AC AE CAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF AEF ∆≅∆∴ACF E ∠=∠∵AB AE =∴E ABE ∠=∠∴ABE ACF ∠=∠(2)连接CF ，由(1)，知ACF AEF ∆≅∆∴CF EF =，ACF E ABE ∠=∠=∠在BF 上截取BM CF =，连接AM .在ABM ∆和ACF ∆中AB AC ABM ACF BM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABM ACF ∆≅∆∴AM AF =，BAM CAF ∠=∠∵AB AC =，60ABC ∠=︒∴ABC ∆是等边三角形∴60BAC ∠=︒∴60MAF MAC CAF MAC BAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∵AMF ∆为等边三角形∴AF AM MF ==又∵BM CF EF ==∴AF EF MF BM FB +=+=，即AF EF FB +=(3)连接CF ，延长BA 、CF ，交于点N∵AB AC =，45ABC ∠=︒∴45ACB ABC ∠=∠=︒，180454590BAC ∠=︒-︒-︒=︒ ∵BD 平分ABC ∠∴22.5ABF CBF ∠=∠=︒由(1)，得22.5ACF ABF ∠=∠=︒∴18022.54522.590BFC ∠=︒-︒-︒-︒=︒∴90BFN BFC ∠=∠=︒在BFN ∆和BFC ∆中NBF CBF BF BFBFN BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BFN BFC ∆≅∆∴NF CF =，即2CN CF =∵90BAC ∠=︒∴90NAC ∠=︒在BAD ∆和CAN ∆中ABD ACN AB ACBAD CAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BAD CAN ∆≅∆∴BD CN =.由(2)得，CF EF =∴22BD CN CF EF ===第2章 压轴题特训(2)1.D2.C3. 105°4. 72°或540()7° 5. (1)∵ADC BOC ∆≅∆∴DC OC =，DCA OCB ∠=∠∴COD ∆等腰三角形∵ABC ∆是等边三角形∴60OCB ACO ACB ∠+∠=∠=︒∴COD ∆等边三角形(2) 当150α=︒时，AOD ∆是直角三角形理由：∵ADC BOC ∆≅∆∴150ADC BOC ∠=∠=︒又∵COD ∆等边三角形∴60ODC ∠=︒∴90ADO ∠=︒，即AOD ∆是直角三角形(3)分三种清况讨论:①要使AO AD =，需要AOD ADO ∠=∠∵360190AOD AOB DOC BOC α∠=︒-∠-∠-∠=︒-，60ADO ADC ODC α∠=∠-∠=-︒∴19060αα︒-=-︒∴125α=︒②要使OA OD =，需要ADO OAD ∠=∠∵180()180(19060)50OAD AOD ADO αα∠=︒-∠+∠=︒-︒-+-︒=︒ ∴6050α-︒=︒∴110α=︒③要使OD AD =，需要AOD OAD ∠=∠∴19050α︒-=︒∴140α=︒综上所述，当α为125°或110°或140°时，AOD ∆是等腰三角形.6. (1)∵//EN AD∴,MAD N ADM NEM ∠=∠∠=∠∵M 为DE 的中点∴DM EM =在ADM ∆和NEM ∆中MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM NEM ∆≅∆∴AM NM =∴M 为AN 中点(2)∵BAD ∆和BCE ∆均为等腰直角三角形∴,AB AD CB CE ==,45CBE CEB ∠=∠=︒∵//AD NE∴180DAE NEA ∠+∠=︒∵90DAE ∠=︒∴90NEA ∠=︒∴135NEC ∠=︒∵A 、B 、E 三点在同一条直线上∴180135ABC CBE ∠=︒-∠=︒∴ABC NEC ∠=∠由(1)，知ADM NEM ∆≅∆∴AD NE =∵AD AB =∴AB NE =在ABC ∆和NEC ∆中AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC NEC ∆≅∆∴AC NC =，ACB NCE ∠=∠∴ACB BCN NCE BCN ∠+∠=∠+∠，即90ACN BCE ∠=∠=︒ ∴CAN ∆为等腰直角三角形.(3) CAN ∆仍为等腰直角三角形证明:延长AB 交NE 于点F ，由〔1)，得ADM NEM ∆≅∆ ∴AD NE =∵AD AB =∴AB NE =∵90BAD ∠=︒，//AD NE∴90BFE ∠=︒在四边形BCEF 中，∵90BCE BFE ∠=∠=︒∴3609090180FBC FEC ∠+∠=︒-︒-︒=︒∵180FBC ABC ∠+∠=︒11 ∴ABC FEC ∠=∠在ABC ∆和NEC ∆中AB NE ABC FEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC NEC ∆≅∆∴AC NC =，ACB NCE ∠=∠∴ACB BCN NCE BCN ∠+∠=∠+∠，即90ACN BCE ∠=∠=︒ ∴CAN ∆为等腰直角三角形.。