八年级数学上册压轴题训练
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且
∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，
使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？
请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，
BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，
若，则△ABC≌△DEF．
3．有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等
腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度
数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则
视为同一种）
(2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，
点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
4.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三
角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括
△ABC）
(1)在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并
直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是
度和度；
(2)在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；
(3)继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图
中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．
5.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）
(1)在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成
立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
(2)在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否
相等？请直接写出你的结论，无需证明．
6.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD 平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN的中点；
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同
一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中的结
论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
7.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一
个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC 上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为
D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP 面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为
G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE=CF.
8.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不
与B、C重合），M在BC的延长线上．
(1)如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．
①求证：△ABP≌△ACE．
②∠ECM的度数为°．
(2)①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方
形，连接CE．则∠ECM的度数为°．
②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正
五边形，连接CE．则∠ECM的度数为°．
(3)如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，
连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边
数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．
9、如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BG⊥AE于点
G，连接FD并延长，交BG于点H
（1）求证：DF=DH；
（2）若∠CFD=120°，求证：△DHG为等边三角形．
10、已知两等边△ABC，△DEC有公共的顶点C。

（1）如图①，当D在AC上，E在BC上时，AD与BE之间的数量关系为______________________；
（2）如图②，当B、C、D共线时，连接AD、BE交于M，连接CM，线段BM与线段AM、
CM之间有何数量关系？试说明理由；
（3）如图③，当B、C、D不共线时，线段BM与线段AM、CM之间的数量关系是_________________。

（不要求证明）。

3、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么
①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________( 直接写出结论)
图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．
4、如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF= 1/2∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的
数量关系．并证明你的猜想．
答案1、全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
分析：（1）首先证明∠1=∠2，再证明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH；
（2）首先根据角的和差关系可以计算出∠GFH=30°，再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°，再根据直角1HF，进而得到结论．
三角形的性质可得，HG=
2
解答：证明：（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE，
∴∠BGF=∠CFG=90°，
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME，
∵∠GMB=∠CME，
∴∠1=∠2，
∵点D为边BC的中点，
∴DB=CD，
在△BHD和△CED中，
∠1＝
∠2
DB＝
CD
∠3＝
∠4
∴△BHD≌△CED（ASA），
∴DF=DH；
（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，
∴∠GFH=30°，
∵∠BGM=90°，
∴∠GHD=60°，
∵△HGF是直角三角形，HD=DF，
1HF=DH
∴HG=
2
∴△DHG为等边三角形．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是掌握全等三角形的判定定理．
2、解：（1）AD=BE
（2）BM=AM+CM
理由：在BM上截取BM′=AM，连接CM′
∵△ABC、△CED均为等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE即
∠BCE=∠ACD
∴在△BCE和△ACD中
AC=BC
∠BCE=∠ACD
CE=CD
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠1=∠2
∴在△BM′C和△AMC中
BM′=AM
∠1=∠2
BC=AC
∴△BM′C≌△AMC（SAS）
∴∠3=∠4，CM= CM′
∵∠ACB＝∠3＋∠5=60°
∴∠4＋∠5=60°即∠MM′C=60°
∴△MM′C为等边三角形
∴CM= MM′
∴BM=B M′+M M′=AM+CM
（3）BM=AM+CM
4、。