2. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上
的投影为 Lz m l ，当角量子数l=2时，Lz的可能取值为
3. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为，当主量子 数n=3时，电子动量矩的可能取值为 .
.
光 的 波
光电效应
当光照在金属时，金属板将释放电子 即光电子的现象。 1 mV02 eK eU a 实验规律 2 1 mV02 h W 爱因斯坦方程
2
当 E K m0 c 2 上式分母中， 2 2 E m c 2 EK K 0
2 E K m0 c 2 可略去．
得
hc / E K
波函数 量 子 力 学 小 结
波函数归一化条件

2
dV 1
2 d 2 ( x) 定态薛定谔方程： V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx 一维无限深方势阱 薛定谔方程的应用： 氢原子四个量子数的物理意义
量子性题: 1. 波长为 的单色光照射某金属M 表面发生光电效应，发射 的光电子 (电荷绝对值为e，质量为m) 经狭缝 S 后垂直进入磁 感应强度为的均匀磁场(如图示)，今已测出电子在该磁场中 作圆运动的最大半径为R．求 (1) 金属材料的逸出功A； (2) 遏止电势差U．
x r sin cos ,
在球坐标系下： y r sin sin ,
z

z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：

y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即 设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）的解为: ( ) Aeiml



B

M
e
s



解：(1) 由 eBv mv 2 / R 和
v ( ReB) / m
1 2 代入：h mv A 2
1 mR 2 e 2 B 2 hc R 2 e 2 B 2 可得: A 2 2m 2 m 1 2 (2) e U mv 2 hc
L在外场方向投影大小，则
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l，ml 有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的情 形
ml=Lz/h 2 1 0 -1 1 0 -1 -2 3
2 1
0
-1
-2 -3
（4）电子自旋 电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相 对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对 论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。 B N K S P 结果：无外场时，P上沉积一 条正对B的痕迹；有外 场时，出现几条不连 续的线状痕迹。
根据德布罗意波： h / p h /(mv)
把上面m，v代入得：
hc
2 E K 2 E K m0 c 2

hc
2 E K 2 E K m0 c 2
2
2 2 E K m0 c 2 E K 可略去．
当 E K m0 c
上式分母中，E K
2
得 hc / 2 E K m0 c h / 2 E K m0
角度部 d l ml / 2 Y ( , ) N lm (1 cos2 ) 分的解： d cos 方程（3）的解为: Rnl N nl e
r na0
m
ml
Pl (cos )eim
2 其中：Nnl为归一化常数，a0 为一常数， 2 me L2 ll1 为缔合勒盖尔多项式。 n
（3）角动量的空间取向量子化
索末菲在 1915-1916 年提出： 氢原子中的电子绕核作圆周轨 道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限 的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的角动量 空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz表示
v2 解：电子的轨迹为圆，则：m evB R
mv eRB
h h mv eRB
º =0. 2A
4. 假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物质
波波长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量子化条 件．
解：从题设可知，若圆周半径为r，则有2r = n，这里n是 整数，是电子物质波的波长． 根据德布罗意公式 : 得: 于是:
h /(mv )
2r nh /(mv )
2πrmv nh
这里m是电子质量，v是电子速度的大小，rmv为动量矩， 以L表示, 则上式为
L nh /(2)
这就是玻尔的动量矩量子化条件．
5. 求：实物粒子德布罗意波长与粒子动能EK和静止质量m0的
关系，并得出：
EK << m0c2时， EK >> m0c2时，
ml 0,1,2
d
ml ml
方程（2）的解为: ( ) (1 cos2 ) ml / 2
d cos
Pl (cos )
由标准化条件决定：l=0,1,2, ••••• , 同时限定给定一 l, ml只能 取下列 (2l+1): ml 0,1,2 l
是连带的勒让德函数
此实验最初用s态银原子进行， 原子射线分裂为二条，且二者 偏转上下对称。 因s态原子l=0 本身无动量矩和磁矩。
K原子射线；B狭缝； NS磁场；P照相板
1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除绕核的
磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。
量子力学的计算：自旋动量矩S为:
自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz 只能有如 下两种取值：
n 1,2,3
理论计算
4o n 2 2 rn n 2 r1 (n 1,2,3,) r1 0.529 1010 m me2 1 e2 13.6eV En 2 ( ) (n 1,2,3,) 2 n 8o r1 n
是一个复指数函数，本身无物理意义 波函数模的平方 | |2 * 代表时刻t 在 r 处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现在 空间（x,y,z）点的单位体积内的几率 波函数应满足单值、有限、连续的标准条件
2r l 2l 1 2r ( ) Ln l ( ) na0 na0
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n 个值：l=0,1,2,…n-1 氢原子的波函数： nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
讨论n、l、ml 参数的物理意义 （1）能量量子化 在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取 一些分立的负值，即： ) 2
p 1 arccos arccos 44.0° mv 1 ( / ) 2
p' p

mv
3.在B =1.25×10-2 T的匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm的圆轨
道运动的电子的德布罗意波长是多少? (普朗克常量h =6.63×10-34 J· s，e =1.60×10-19 C)
§9 氢原子的薛定谔方程的解 1、 氢原子的定态薛定谔方程 氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子 绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为
1 e2 V (r ) 40 r
定态薛定谔方程为：
由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了计 算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：
为主量子数或称能量量子数。
n=1的能级称为基态能级
n>1的能级称为激发态能级,取值如下：
6 5 -0.85eV 4
Enl
-1.51eV 3
-3.39eV 2
如图所示，n增大 时， 能级间隔减小 ；n很大时间隔非 常小，可看成连续 变化。
-13.6eV 1
主量子数 n
氢原子能级图
（2）角动量量子化 方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动量是 量子化的，其大小为： 其中：l 称为角量子数或称副量子数。 说明：1、L只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=0 3、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能 确切地表征。 一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显 然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
遏止频率 0
2 W h
粒 二 象 性
康普顿散射
在散射光中除有与入射波长相同的射线 外，还有波长比入射波长更长的射线 .
2h 2 2 0 sin 2e sin me c 2 2
e 2.43 10 12 m
德布罗意波 粒 子 的 波 粒 二 象 性
h mv
和频率，mv 为反冲电子的动量(如图)．因散射线与入 射线垂直，散射角 / 2 ，因此可求得散射X射线的
波长 ：
p'

p
mv
h = 0.724 Å me c
(1) 根据能量守恒定律:
me c 2 h h mc 2
E K mc me c
2
m
m0 v2 1 2 c
h 粒子的波粒二象性
p
E
h
E mc 2
h 12.2 A 实验证明： 戴维孙-革末实验 2meU U
微观解释：而对多数粒子来说，在空间不同位置出
现的几率遵从一定的统计规律（几率波）
不确定关系 x px h
y p y h
z pz h
氢 原 子 的 玻 尔 理 论
实验规律
~ 1 R( 1 1 ) m2 n2 m=1，赖曼系