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Yl ,ml (θ , ϕ ) = Θl ,ml (θ ) ⋅Φml (ϕ )
3.电子的概率分布 .
P = ψ
2
大学物理
z
dϕ
2
dV
θ
r sin θ dϕ
dV
概率密度
|ψ | =| R( r ) ⋅ Θ (θ ) ⋅ Φ(ϕ ) |
2
r
O
ϕ
dr rdθ
体积元
dV = ?
2
y
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大学物理
第五节 氢原子结构的薛定谔方程解
本节介绍薛定谔方程应用 —— 三维问题 要求：思路， 要求：思路，重要结论 一、氢原子的量子力学处理方法 1.建立方程 (电子在核的库仑场中运动) 建立方程 电子在核的库仑场中运动)
e2 势函数 U = − 4 πε0r
r +
-
设电子质量 m，代入三维定态薛定谔方程 ，代入三维定态 定态薛定谔方程
L = l (l + 1)h
即
(l = 0,1,2,...n − 1)
L = 0, 2h, 6h,... ( n − 1)n h
L n 所以， 玻尔理论中 = nh并不正确，只是 , l 均 并不正确， 所以， 取很大的值时的近似。 取很大的值时的近似。
角量子数 l 对氢原子系统能量有影响 E = E (n, l)
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与“轨道”角动量类比 轨道” 令 Ls =
S Ls
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s( s + 1)h
Lsz = ms h
r B
+ h 2
| ms |≤ s
1 2s+1=2 s = 2 自旋角动量
取2s+1个值 个值
由史特恩–盖拉赫实验 由史特恩 盖拉赫实验
1 ms = ± 2
3 Ls = s( s + 1)h = h 2
Lz = ml h
“轨道”磁矩量子化 轨道” 轨道
可取(2l 可取 +1)个值 个值
µ = l (l + 1) µ B
µ z = ml µ B
e µB = h 2m
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二、电子的自旋 1. 史特恩 盖拉赫实验 史特恩-盖拉赫实验 目的： 目的：研究角动量空间量子化
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原子射线在非均匀磁场中偏转
θ
O+ x r
-
y
ϕ
1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 = 2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2
1 ∂ 2 ∂ψ 1 ∂ ∂ψ 1 ∂ 2ψ 2m e2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 + 2 E + ψ = 0 2 2 ∂r ∂θ 4 π ε 0r r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ h
1 d dΘ ν (sin θ ) + ( λ − 2 )Θ = 0 sin θ d θ dθ sin θ
d2 Φ +ν Φ = 0 2 dϕ
( λ ,ν 为分离变量过程中的待 定常数） 定常数）
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2. 求解过程中为了使波函数满足归一化条件和标准条 件，自然引入三个量子数 ：n, l, ml
P(r) =| Rn,l (r) |2 r2 d r
电子在离核 r 不同处,出现的概 不同处 出现的概 率不等， 率不等，某些极 大值与玻尔轨道 对应， 半径r = n2a1对应， 说明玻尔理论只 是量子结果不完 全的近似。 全的近似。
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2) 角向概率分布
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P (θ , ϕ ) = Y l ,m (θ , ϕ ) sin θ d θ d ϕ
1 me 4 E1 )= 2 E<0 E =− 2( 2 2 2 n 32 π ε o h n
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( n = 1,2,3,L)
E1 = −13.6 eV
玻尔理论关于能级的结论是正确的 如果考虑相对论效应
E = E ( n, l )
按n + 0.7l大小排列
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2) l —— 角量子数，表征角动量量子化 角量子数， 电子云绕核分布， 电子云绕核分布，角向概率密度旋转对称 , 类比为 玻尔理论中电子“轨道”运动， 轨道” 玻尔理论中电子“轨道”运动，其“轨道”角动量量 子化： 子化：
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原子内电子能级的名称
n
l
1(K) 2(L) 3(M) 4(N) 5(O) 6(P) 7(Q)
0 s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
1 p 2p 3p 4p 5p 6p 7p
2 d
f
3
4 g
5 h
6 i
3d 4d 5d 6d 7d
4f 5f 6f 7f
5g 6g 7g
n = 5, l = 0, ml = 0, µ = 0
分裂不是由于轨道磁矩与外场相互作用引起 2. 电子自旋 对应的经典模型及解释： 对应的经典模型及解释： 电子绕自身轴自旋，具有内禀角动量， 电子绕自身轴自旋，具有内禀角动量，分裂是自 旋磁矩与磁场相互作用的结果。 旋磁矩与磁场相互作用的结果。
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r r
µ
r
r v
-e I
(ml = 0,±1L± l )
“轨道”磁量子数 轨道” 轨道 e 玻尔磁子： 玻尔磁子： µB = h 2m
µ = l (l + 1) µ B µ z = ml µ B
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Bz
L
Lz
θ
e
µz
µ
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小结： 小结：氢原子系统的量子化 主量子数： 主量子数：n = 1,2,3,L 表征能量量子化
d V = r sin θ d r d θ d ϕ
电子在体积元dV中出现的概率 电子在体积元 中出现的概率
x
|ψ | ⋅ dV =| R | r d r | Θ ⋅ Φ | sinθ dθ dϕ
2 2 2 2
径向概率
角向概率
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1) 径向概率分布电子在 r — r+dr球壳中出现的概率 径向概率分布电子在 球壳中出现的概率
2m 2 ∇ ψ + 2 ( E − U )ψ = 0 h
2m e2 ∇ 2ψ + 2 ( E + )ψ = 0 得 h 4 π εor
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e2 2m ∇2ψ + 2 ( E + )ψ = 0 h 4 π εo r
z
式中
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
1 me 4 E1 E=− 2( )= 2 2 2 2 n 32 π ε o h n
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E1 = −13.6eV
角量子数： 角量子数： = 0,1,2,L, (n −1)表征角动量量子化 l
L = l (l + 1)h
可取 n 个值
E = E ( n, l )
对氢原子系统能量有影响
m 磁量子数： 磁量子数： l = 0,±1,±2,L,±l表征角动量空间取向量子化
Lz = ml h (ml = 0,±1,±2,L,±l )
例： np态 态
L=
Z
Lz Lz
n ≥ 2
l ( l + 1) h =
Z
l = 1
2h
m l = 0, ± 1
Lz = 0, ± h
r L
h
0
r L
2h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
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−h
ml ml
0
ml
3 2 1 0 -1 -2 -3 l=3
r r r M = µ ×B
无空间量子化： 无空间量子化： 屏上得连成一片原子沉积 存在空间量子化： 屏上得(2l +1)条分离原子沉积 存在空间量子化： 屏上得 条分离原子沉积
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S
原子炉
准直屏
N
磁铁
与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 Ag: 5s
分离变量 设ψ (r,θ ,ϕ ) = R(r) ⋅ Θ(θ ) ⋅ Φ(ϕ )
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ψ (r,θ,ϕ) = R(r) ⋅ Θ(θ ) ⋅Φ(ϕ)
代回原方程化简， 代回原方程化简， 得三个常微分方程: 得三个常微分方程 x
z
θ
O+ r
-
y
ϕ
1 d 2 dR 2m e2 λ (r ) + [ 2 (E + ) − 2 ]R = 0 2 r dr dr h 4 π εor r
2
l
= Θ l ,m (θ ) ⋅ Φml (ϕ ) 2sin θ d θ d ϕ
l
电子在某方向上单位立体角内出现的概率对 z 轴 旋转对称分布 z
l =0 ml = 0
z
l=2 ml = 0
z
l =2 ml = ±1
x
x
x
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电子在核外不是按一定的轨道运动的, 电子在核外不是按一定的轨道运动的,量子力学不能断 言电子一定出现在核外某确切位置, 言电子一定出现在核外某确切位置,而只给出电子在核外 各处出现的概率,其形象描述——“电子云”(点击看图) 各处出现的概率,其形象描述 “电子云” 点击看图)