2020-2021学年湖南省娄底市第一中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.【考点】本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】B【解析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【详解】解：因为频率分布直方图中小长方形面积等于频率，所以低于60分的人数频率为20(0.010.005)0.3⨯+=，所以该班的学生人数是1550 0.3=．故选B．本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．属于基础题. 3．若函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，直线6x π=是它的一条对称轴，则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．3B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】结合函数的图象与已知条件,求出函数的周期,确定,ωϕ得到函数的解析式，即可求出答案. 【详解】解：结合图像可知，当6x π=，此时函数取到最大值1，故541264T πππ=-=，∴T π=， 由2ππω=得2ω=，又“五点法”得5212πϕπ⨯+=，得6π=ϕ， 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∴sin 2446f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin cos 266πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 故选C ． 【点晴】利用对称轴结合图象求出周期是本题的关键,考查计算能力,属于基础题. 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，33S =则7a =（ ） A ．6B ．7C ．11D ．9【解析】根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程解首项与公差，最后再根据通项公式计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得5147a a d =+=①，31333S a d =+=②，①和②联立得11a =-，2d =， 所以71611a a d =+= 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查运算能力，是基础题.5．在ABC 中，D 是AB 边上靠近点A 的三等分点，E 是CD 的中点，则BE （ ） A ．5162AB AC -+ B ．5162AB AC - C ．1132AB AC - D ．1132AB AC -+ 【答案】A【解析】依题意可得23BD AB =-，根据平面向量的加减运算法则计算可得； 【详解】解：由已知可得23BD AB =-，BC AC AB =-， 因为E 是CD 的中点， 所以11251()22362BE BD BC AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=-+-=-+ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题.6．已知在ABC 中，b =2c =，30C =︒，那么解此三角形可得（ ）A ．一解B ．两解C ．无解D ．解的个数不确定 【答案】B【解析】先由正弦定理得到60B =或120，再分析得到两解都满足题意得解. 【详解】1sin 2,sin sin sin 22b c b CB BC c=∴===． 所以60B =或120.,b c B C >∴>,所以两解都满足题意.故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的解的个数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知角α的终边上有一点()P ，则3πsin 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）． A ．13- B ．79-C．13 D ．79【答案】C【解析】由角终边上点的坐标，可求出cos α=，结合诱导公式和二倍角公式，可求出3πsin22α⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【详解】解：由题意知cos α==，则23π1sin 2cos 212cos 23ααα⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭．故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解，考查了诱导公式，考查了二倍角公式.本题的易错点是计算.一般地，若已知角α终边上一点坐标(),P x y，则由sin cos tan y x ααα⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩可求三角函数值.8．已知1x ，2x ，．．．，n x 的平均数为10，标准差为2，则121x -，221x -，．．．，21n x -的平均数和标准差分别为（ ） A ．19和2 B ．19和3C ．19和4D ．19和8【答案】C【解析】根据平均数和标准差的性质可得选项. 【详解】解：∵1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为2，∴121x -，221x -，…，21n x -的平均数为：210119⨯-=，4=． 故选：C ． 【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199C ．200D ．201【答案】A【解析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <，当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <；又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．10．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan a b c B -+=，则角B 的值为（ ） A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】D【解析】先根据余弦定理进行化简，进而得到sin B 的值，再由角的范围和正弦函数的性质可得到最后答案． 【详解】解：由()222tan a c b B +-=，∴222cos 22sin a c b Bac B+-=，即cos cos 2sin BB B=，因为B 为三角形的内角，所以cos 0B ≠，sin 0B >，∴sin B =，又在ABC 中，所以B 为3π或23π ， 故选:D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．11．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( ) A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 【答案】D 【解析】【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π==+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项. 12．在数列{}n a 中，113a =，且(21)n n S n n a =-，通过求2a ，3a ，4a ，猜想n a 的表达式为（ ） A ．1(1)(1)n a n n =-+B ．12(21)n a n n =+C ．1(21)(21)n a n n =-+D ．1(21)(22)n a n n =++【答案】C【解析】由已知求得2111535a ==⨯，3113557a ==⨯，4179a =⨯，可以猜想得选项. 【详解】 解：由113a =，(21)n n S n n a =-，得222(221)S a =⨯-，即1226a a a +=， ∴2111535a ==⨯，333(231)S a =⨯-，即331115315a a ++=， ∴3113557a ==⨯，4179a =⨯， 由此猜想1(21)(21)n a n n =-+．故选C ．【点睛】本题考查由n n a S ，之间的关系式，求数列的前几项，猜想数列的通项公式，属于基础题.二、填空题13．设平面向量(2,1)a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，若()//+a b c ，则实数m =__________ ．【答案】-1【解析】先由向量的线性运算求得向量a b +，再根据向量平行的坐标条件求得答案. 【详解】解：(2,1)a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，∴(1,1)a b m +=-， ∵()//+a b c ，∴(1)2m --=， 解得1m =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量平行的坐标条件，属于基础题.14．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+，那么表中m 的值为__________．【答案】3【解析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】 解：3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144m m y ++++==，又回归直线必过样本点的中心(),x y ， 所以110.7 4.50.354m +=⨯+，所以3m =． 故答案为：3. 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，解题关键是理解样本中心点在线性回归直线上，属于基础题．15．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--，所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为322.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】在ACE △中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =6BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，3AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos30132131CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，向量2AB a b =-，3CD a b =+．（1）若a 与b 的夹角为60︒，求a b -的值；（2）若AB CD ⊥，求向量a 与b 的夹角θ的值．【答案】（1（2）120θ．【解析】（1）根据向量的模的计算公式直接计算即可得答案；（2）由向量AB CD ⊥得()()230a b a b -⋅+=，再结合已知化简求值即可.【详解】解：（1）21cos601a b ⋅=⨯⨯︒=．∴222||24213a b a a b b -=-⋅+=-+=． ∴3a b -=．（2）∵AB CD ⊥，∴·0AB CD =，即()()23a b a b -⋅+ 22253a a b b =+⋅-810cos 30θ=+-=．∴1cos 2θ=-，又[]0,180θ∈︒︒ ∴120θ．【点睛】 本题考查利用向量数量积求向量的模，根据向量垂直求向量夹角问题，考查运算能力，是基础题.18．已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅ （1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．【答案】（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用数量积的坐标表示，将()f x a b =⋅表示出来，再利用二倍角公式、辅助角公式即可化简()f x ，由周期公式即可得周期.（2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，解得x 的范围即为()f x 的单调增区间.【详解】（1）())()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =⋅=+-22cos sin cos cos 22x x x x x x =-+=+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 最小正周期22T ππ== （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈ 解得：36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈所以()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 【点睛】 本题主要考查了三角公式的二倍角公式、辅助角公式，考查了求解三角函数的周期和单调区间，涉及了向量数量积的坐标表示，属于中档题.19．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知375,49a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 21n a n =- (2) 21n n T n =+ 【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，得到11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，进而可求出前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意可得1125767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-；()2由()1得()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 从而1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型．20．《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：年龄x 20 30 40 50每周学习诗词的平均时间y 33.5 3.54 由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.参考公式：()1221ni i i n i i x y nx y b xn x ==-⋅=-∑∑，a y bx =-【答案】（1）35（2）0.03 2.45y x =+；4.25小时 【解析】（1）由题，列出不等式7879828180737778868055x +++++++++>，解得x 的取值范围，即可得到本题答案；（2）由()1221ni i i n i i x y nx y b xn x ==-⋅=-∑∑，a y bx =-，求得线性回归方程，然后令60x =，即可得到本题答案.【详解】（1）设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得7879828180737778868055x +++++++++>， 6x ⇒<，即0,1,2,3,4,5x =，63105P ∴==； （2）()120304050354x =+++=， ()13 3.5 3.54 3.54y =+++=， 4490x y ∴=，又4120330 3.540 3.5504505i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑， 4222221203040505400i i x==+++=∑，25054900.035400435b -∴==-⨯， 3.50.0335 2.45a ∴=-⨯=，0.03 2.45y x ∴=+，60x ∴=时， 4.25y =.答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时.【点睛】本题主要考查与平均数相关的计算以及线性回归方程的求法，属基础题.21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b，求ABC 的面积；（2）若sin AC=2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【解析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.22．已知数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，11a =． （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）求数列2nn nb a =的前n 项之和n S ． 【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)22n n S n +=-⨯+．【解析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到1111n n a a ，从而得解；（2）利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）依题意，11111n n n n a a a a ++==+，也即1111n n a a ，因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知11(1)nn n a =+-=， 所以2n n b n =⨯，因此1231222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两边同乘以2得：234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 两式相减得：()123122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯()112122(1)2212n n n n n ++-=-⨯=-⨯--，因此1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.。