2019年成都市成都七中自主招生考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．若M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y为实数），则M的值一定是（）A．非负数B．负数C．正数D．零2．将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m等于（）A．16 B．18 C．26 D．323．已知6a2﹣100a+7＝0以及7b2﹣100b+6＝0，且ab≠1，则的值为（）A．B．C．D．4．若a＝，b＝2+，则的值为（）A．B．C．D．5．满足|ab|+|a﹣b|﹣1＝0的整数对（a，b）共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个6．在凸四边形ABCD中，E为BC边的中点，BD与AE相交于点O，且BO＝DO，AO＝2EO，则S△ACD：S△ABD的值为（）A．2：5 B．1：3 C．2：3 D．1：27．从1到2019连续自然数的平方和12+22+32+…+20192的个位数字是（）A．0 B．1 C．5 D．98．已知x+y+z＝0，且，则代数式（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为（）A．3 B．14 C．16 D．369．将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组，只有正数解的概率为（）A．B．C．D．10．方程3a2﹣8a﹣3b﹣1＝0，当a取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数b的个数是（）A．12个B．13个C．14个D．15个11．若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为（）A．31个B．32个C．33个D．34个12．若关于x的方程x2+ax+b﹣3＝0有实根，则a2+（b﹣4）2的最小值为（）A．0 B．1 C．4 D．9第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（13-16题，每题7分：17-19题，每题8分，共52分）13．已知x＝，则代数式x4﹣3x3﹣3x+1的值为．14．在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有个．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D为AB中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，使△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的，则BE的长为．16．已知关于x的方程恰好有两个实数解，则m的取值范围为．17．如图，PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin ∠BAO＝，PE＝5DF，则＝．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°．M和N分别是线段AD和线段BC上的点，且满足BN＝DM，则线段MN的最小值为．19．若﹣＜x＜1，＝a0+a1x+a2x2+a3x3…+a n x n，则a2+a3＝．三、解答题（20题18分，21题20分，共38分）20．（18分）已知二次函数y＝x2+（a﹣7）x+6，反比例函数y＝（1）当a＝2时，求这两个函数图象的交点坐标；（2）若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；（3）若这两个函数的交点都在直线x＝的右侧，求a的取值范围．21．（20分）已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于点G，且满足∠ADF＝∠ABE（1）如图1，若DE＝BG＝n，cos∠AEB＝，GE＝3，求AE的长（用含n的代数式表示）；（2）如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE＝1，作点A关于BE的对称点A′，A′到CG 的距离为，求DE的长．参考答案与试题解析1．【解答】解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故M一定是非负数．故选：A．2．【解答】解：将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，则只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6（m﹣2）2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12（m﹣2），∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，∴6（m﹣2）2＝12×12（m﹣2），解得m1＝26，m2＝2（舍去），故选：C．3．【解答】解：∵7b2﹣100b+6＝0，∴6×﹣100×+7＝0，∵6a2﹣100a+7＝0，a≠，∴a、是方程6x2﹣100x+7＝0的两个不同的根，∴由根与系数的关系可知：＝，故选：D．4．【解答】解：a＝•＝．∴．故选：B．5．【解答】解：∵|ab|+|a﹣b|＝1，∴0≤|ab|≤1，0≤|a﹣b|≤1，∵a，b是整数，∴|ab|＝0，|a﹣b|＝1或|a﹣b|＝0，|ab|＝1①当|ab|＝0，|a﹣b|＝1时，Ⅰ、当a＝0时，b＝±1，∴整数对（a，b）为（0，1）或（0，﹣1），Ⅱ、当b＝0时，a＝±1，∴整数对（a，b）为（1，0）或（﹣1，0），②当|a﹣b|＝0，|ab|＝1时，∴a＝b，∴a2＝b2＝1，∴a＝1，b＝1或a＝﹣1，b＝﹣1，∴整数对（a，b）为（1，1）或（﹣1，﹣1），即：满足|ab|+|a﹣b|＝1的所有整数对（a，b）为（0，1）或（0，﹣1）或（1，0）或（﹣1，0）或（1，1）或（﹣1，﹣1）．∴满足|ab|+|a﹣b|﹣1＝0的整数对（a，b）共有6个．故选：C．6．【解答】解：如图，过点B作BF∥AD交AE延长线于F，连接OC，∵BF∥AD∴∠F＝∠DAO∵BO＝DO，∠BOF＝∠DOA∴△FOB≌△AOD（AAS）∴FO＝AO∵AO＝2EO∴FO＝2EO∴EO＝EF，∵E为BC边的中点∴BE＝CE∵∠BEF＝∠CEO∴△BEF≌△CEO（SAS）∴∠BFE＝∠COE∴BF∥OCAD∥OC∴S△ACD＝S△AOD，∵BD＝2OD∴S△ABD＝2S△AOD，∴S△ABD＝2S△ACD∴S△ACD：S△ABD＝1：2；故选：D．7．【解答】解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的，∵2019÷10＝201…9，（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×201+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）＝45×201+45＝9045+45＝9090，∴12+22+32+42+…+20192的个位数字是0．故选：A．8．【解答】解：∵x+y+z＝0，且，设a＝x+1，b＝y+2，c＝z+3，则a+b+c＝x+y+z+6＝6，++＝0，∴＝0，即ab+ac+bc＝0，∴（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2＝a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝62﹣2×0＝36．∴（x+1）2+（y+2）2+（z+3）2的值为36．故选：D．9．【解答】解：①当a﹣2b＝0时，方程组无解；②当a﹣2b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x＝，y＝，∵使x、y都大于0则有x＝＞0，y＝＞0，∴解得a＜，b＞或者a＞，b＜，∵a，b都为1到6的整数，∴可知当a为1时b只能是1，2，3，4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b无解，这两种情况的总出现可能有6种；（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6），又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝＝，故选：B．10．【解答】解：∵3a2﹣8a﹣3b﹣1＝0，∴b＝a2﹣a﹣＝（a﹣）2﹣，∵0≤a≤5，∴﹣≤a﹣≤，∴0≤（a﹣）2≤，∴﹣≤（a﹣）2﹣≤，即﹣≤b≤，∴整数b＝﹣2，﹣1，0，1，…，11，共14个，故选：C．11．【解答】解：根据题意得三角形的三边都小于20，设最小的两边为x≤y≤19，x+y＞20当x＝2时，y＝19，当x＝3时，y＝18，当x＝4时，y＝17，18，当x＝5时，y＝16，17，当x＝6时，y＝15，16，17，当x＝7时，y＝14，15，16，当x＝8时，y＝13，14，15，16，当x＝9时，y＝12，13，14，15，当x＝10时，y＝11，12，13，14，15，当x＝11时，y＝11，12，13，14，当x＝12时，y＝12，13，14，当x＝13时，y＝13，符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1＝33，故选：C．12．【解答】解：由x2+ax+b﹣3＝0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2﹣3＝0，∵a2+（b﹣4）2的最小值可看做点（a，b）到（0，4）距离的最小值，则两点的距离d＝＝＝≥1，∴点（a，b）到（0，4）距离的最小值为1，即a2+（b﹣4）2的最小值为1，故选：B．13．【解答】解：当x＝时，原式＝x4﹣3x3﹣3x+1＝（x2）2﹣3x（x2+1）+1＝＝＝＝1+1＝2．故答案为：2．14．【解答】解：设正十边形为A1A2 (10)以A1A2为底边的梯形有A1A2A3A10、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个．同理分别以A2A3、A3A4、A4A5、…、A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个，这样，合计有30个梯形．以A1A3为底边的梯形有A1A3A4A10、A1A3A5A9共2个．同理分别以A2A4、A3A5、A4A6、…、A9A1、A10A2为底边的梯形各有2个，这样，合计有20个梯形．以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A101个．同理分别以A2A5、A3A6、A4A7、…、A9A2、A10A3为底边的梯形各有1个，这样，合计有10个梯形，则以4个顶点为顶点的梯形有：30+20+10＝60（个），故答案为：60．15．【解答】解：如图，当∠ADE＞90°时，连接AA'，延长ED交AA'于点M∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝＝∵D为AB中点，∴AD＝DB＝∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，∴AD＝A'D，AE＝A'E∴ED垂直平分AA'∴EM⊥AA'，∵AD＝DB＝AA'＝∴△ABA'是直角三角形∴∠AA'B＝90°，即AA'⊥A'B∴ME∥A'B∴∠MEF＝∠FA'B，∵△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的，∴S△DEF＝S△AEB，∴DF＝AB＝DB∴DF＝FB，且∠MEF＝∠FA'B，∠A'FB＝∠EFD∴△A'FB≌△EFD（AAS）∴EF＝A'F，且DF＝FB，∠EFB＝∠A'FD∴△BFE≌△DFA'（SAS）∴AD＝BE＝若∠ADE＜90°时，如图，同理可求：AE＝AE'＝BD＝，∴CE＝＝＝，∴BE＝BC﹣CE＝，故答案为：或．16．【解答】解：令y＝﹣+2＝﹣+2＝|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x+3|＝，画函数图象如图，要使原方程恰好有两个实数解，则y＝﹣+2与y＝m的图象恰好有两个不同的交点，由函数图象知m＞1且m≠3，故答案为m＞1且m≠3．17．【解答】解：连接OE，如图，∵AB⊥PO，∴∠ADO＝90°，在Rt△ADO中，sin∠DAO＝＝，设OD＝2x，OA＝3x，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠APO＝∠OAD，在Rt△APO中，sin∠APO＝＝，∴OP＝×3x＝x，∵∠APD＝∠OPA，∴Rt△PAD∽Rt△POA，∴PD：PA＝PA：PO，即PA2＝PD•PO，∵PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、∴PA2＝PF•PE，∴PD•PO＝PF•PE，即PF：PO＝PD：PE，而∠DPF＝∠EPO，∴△PDF∽△PEO，∴＝，∴PF＝•DF＝DF，而PE＝5DF，∴＝＝．故答案为．18．【解答】解：连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，如图所示：则PN≥PE，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAP＝∠DAP，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP＝∠ADP＝∠ABC＝45°，BP＝DP，∵∠ABP＝∠NBP＝∠ABC＝45°，∴∠NBP＝∠MDP，在△NBP和△MDP中，，∴△NBP≌△MDP（SAS），∴PM＝PN，∠BPN＝∠DPM，∴∠BPD＝∠MPN，∴∠BDP＝∠DBP＝∠MNP＝∠NMP，∴△PMN∽△PBD，∴＝≥，∵sin∠NBP＝＝sin45°＝，∴≥，∴MN≥BD，在△ABH和△ADH中，，∴△ABH≌△ADH（SAS），∴BH＝DH，∠BHA＝∠DHA＝90°，AC＝＝＝13，S△ABC＝AB•BC＝BH•AC，∴BH＝＝＝，∴BD＝2BH＝，∴MN≥×＝，∴线段MN的最小值为，故答案为：．19．【解答】解：x＝（1+x﹣2x2）（a0+a1x+a2x2+a3x3…+a n x n），当x＝0时，a0＝0，∴1＝（1+x﹣2x2）（a1+a2x+a3x2…+a n x n﹣1），a1+a2＝0，a2+a3﹣2a1＝0，∴a2＝﹣1，a3＝3，∴a3+a2＝2，故答案为2．20．【解答】解：（1）联立y＝x2+（a﹣7）x+6，y＝并整理得：x3+（a﹣7）x2+6x﹣a＝0…①，a＝2时，上式为：（x﹣1）（x2﹣4x+2）＝0，解得：x＝1或2或2﹣，故函数交点坐标为：（1，2）或（2+，2﹣）或（2+，2﹣）；（2）①式中含有（x﹣1）的因式，即：（x﹣1）[x2+（a﹣6）x+a]＝0，故其中一个根：x＝1，a为正整数，x2+（a﹣6）x+a＝0方程有一个到两个的根，△＝（a﹣6）2﹣4a≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数（设为k），即（a﹣6）2﹣4a＝k2（k为非负整数），整理得：（a﹣8）2﹣k2＝28，即：（a﹣8+k）（a﹣8﹣k）＝28＝4×7＝2×14＝1×28，而a﹣8+k≥a﹣8﹣k，当a﹣8+k＝7，a﹣8﹣k＝4时，解得：a＝13.5（舍去）；当a﹣8+k＝14，a﹣8﹣k＝2时，解得：a＝16；当a﹣8+k＝28，a﹣8﹣k＝1时，a＝23.5（舍去）；故a＝16；（3）两个函数的交点都在直线x＝的右侧，只会出现如下图所示的情况，两个函数三个交点在x＝的右侧，其中一个交点横坐标为x＝1在x＝的右侧，故只需要确定x2+（a﹣6）x+a＝0根的情况，只要左侧的根在x＝右侧即可，解上述方程得：x＝，即，解得：a＞．故：a的取值范围为：a＞．21．【解答】解：（1）作GH⊥AD于H，AI⊥BE于I，∵GE＝3，cos∠AEB＝，∴EH＝2，HG＝，设AE＝3x，则EI＝2x，AI＝x，∴GI＝3﹣2x，BI＝BG+GI＝n+3﹣2x，∴DH＝DE+EH＝n+2，∵∠ADF＝∠ABE，∴∠DHG＝∠AIB＝90°，∴△GHD∽△AIB，∴，∴＝，解得：x＝，∴AE＝3x＝；（2）如图2，连接AA′交BE于M，连接按个，作A′N⊥CG于N，∵四边形ABCD为矩形，G恰为BE中点，∴CG＝DG，∴∠GCD＝∠GDC，∴∠BCG＝∠ADG＝∠ABE＝90°﹣∠CBG，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∴CG⊥BE，∵AA′⊥BE，A′N⊥CG，∴四边形MA′NG是矩形，∴GM＝A′N＝，设ME＝x，则AG＝BG＝GE＝x+，∴AM2＝AG2﹣GM2＝AE2﹣EM2＝（x+）2﹣（）2＝1﹣x2，解得：x＝，∴BG＝GE＝ME+GM＝，∴BE＝2，∵∠ABE＝∠BCG，∴△GCB∽△ABE，∴，∴＝，解得：BC＝4，∴AD＝BC＝4，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3．。