一. 函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1）()dt t f y x∫=0，其中()t f 连续，则()x f dxdy= （2）()()()dt t f y x x∫=21ϕϕ，其中()x 1ϕ，()x 2ϕ可导，()t f 连续， 则()[]()()[]()x x f x x f dxdy1122ϕϕϕϕ′−′= 2．两个无穷小的比较设()0lim =x f ，()0lim =x g ，且()()l x g x f =lim （1）0=l ，称()x f 是比()x g 高阶的无穷小，记以()()[]x g x f 0=，称()x g 是比()x f 低阶的无穷小。

（2）0≠l ，称()x f 与()x g 是同阶无穷小。

（3）1=l ，称()x f 与()x g 是等价无穷小，记以()()x g x f ~3．常见的等价无穷小当0→x 时x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan221~cos 1x x −，x e x ~1−，()x x ~1ln +，()x x αα~11 −+二．求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在（1）若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞→lim 存在，且m A ≥（2）若n n x x ≥+1（n 为正整数）又M x n ≤（n 为正整数），则A x n n =∞→lim 存在，且M A ≤准则2．（夹逼定理）设()()()x h x f x g ≤≤ 若()A x g =lim ，()A x h =lim ，则()A x f =lim 3．两个重要公式公式1．1sin lim0=→xxx公式2．e n nn =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；e u uu =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；()e v vv =+→101lim4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）当0→x 时，()n nxx n x x x e 0!!212+++++=Λ ()()()1212530!121!5!3sin ++++−+++−=n n nx n x x x x x Λ()()()n nn x n xx x x 22420!21!4!21cos +−+−+−=Λ()()()n nn x n x x x x x 01321ln 132+−+−+−=++Λ ()()1212153012153arctan +++++−+−+−=n n n x n xx x x x Λ()()()()[]()n n x x n n x x x 0!11!21112 +−−−++−++=+αααααααΛΛ6．洛必达法则 法则1．（型）设（1）()0lim =x f ，()0lim =x g （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在（3）()()A x g x f =′′lim（或∞） 则()()A x g x f =lim（或∞） （注：如果()()x g x f ′′lim不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()x g x f lim不存在且不是无穷大量情形）法则2．（∞∞型）设（1）()∞=x f lim ，()∞=x g lim （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在（3）()()A x g x f =′′lim（或∞） 则()()A x g x f =lim（或∞）7．利用导数定义求极限基本公式：()()()0000limx f xx f x x f x ′=∆−∆+→∆ [如果存在]8．利用定积分定义求极限基本公式 ()∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→1011lim dx x f n k f n n k n [如果存在]三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点设0x 是函数()x f y =的间断点。

如果()x f 在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是()x f 的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[]b a ,上连续的函数()x f ，有以下几个基本性质。

这些性质以后都要用到。

定理1．（有界定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则()x f 必在[]b a ,上有界。

定理2．（最大值和最小值定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。

其中最大值M 和最小值m 的定义如下：定义 设()M x f =0是区间[]b a ,上某点0x 处的函数值，如果对于区间[]b a ,上的任一点x ，总有()M x f ≤，则称M 为函数()x f 在[]b a ,上的最大值。

同样可以定义最小值m 。

定理3．（介值定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c ，在[]b a ,上至少存在一个ξ，使得()c f =ξ推论：如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与()b f 异号，则在()b a ,内至少存在一个点ξ，使得()0=ξf这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表()0=′c ()0=c d()1−=′αααxx （α实常数）()dx xxd 1−=ααα（α实常数）()x x cos sin =′ xdx x d cos sin = ()x x sin cos −=′ xdx x d sin cos −= ()x x 2sec tan =′ xdx x d 2sec tan = ()x x 2csc cot −=′ xdx x d 2csc cot −= ()x x x tan sec sec =′ xdx x x d tan sec sec = ()x x x cot csc csc −=′ xdx x x d cot csc csc −=()a x x a ln 1log =′()1,0≠>a a ax dxx d a ln log =()1,0≠>a a ()xx 1ln =′ dx x x d 1ln =()a a a x x ln =′()1,0≠>a aadx a da x x ln =()1,0≠>a a()xxee =′ dx e de xx =()211arcsin x x −=′ dx x x d 211arcsin −=()211arccos xx −−=′dx xx d 211arccos −−=()211arctan x x +=′dx x x d 211arctan += ()211cot x x arc +−=′ dx xx darc 211cot +−=()[]22221ln ax ax x +=′++()dxa x a x x d 22221ln +=++()[]22221ln ax ax x −=′−+()dx ax a x x d 22221ln −=−+2．四则运算法则()()[]()()x g x f x g x f ′±′=′± ()()[]()()()()x g x f x g x f x g x f ′+′=′⋅()()()()()()()x g x g x f x g x f x g x f 2′−′=′⎦⎤⎢⎣⎡ ()()0≠x g3．复合函数运算法则设()u f y =，()x u ϕ=，如果()x ϕ在x 处可导，()u f 在对应点u 处可导，则复合函数()[]x f y ϕ=在x 处可导，且有()[]()x x f dxdudu dy dx dy ϕϕ′′== 对应地()()[]()dx x x f du u f dy ϕϕ′′=′=由于公式()du u f dy ′=不管u 是自变量或中间变量都成立。

因此称为一阶微分形式不变性。

4．由参数方程确定函数的运算法则设()t x ϕ=，()t y ψ=确定函数()x y y =，其中()t ϕ′，()t ψ′存在，且()0≠′t ϕ，则()()t t dx dy ϕψ′′= ()()0≠′t ϕ二阶导数()()()()()[]3221t t t t t dtdx dt dx dy d dx dx dy d dx y d ϕϕψϕψ′′′′−′′′=⋅⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5．反函数求导法则设()x f y =的反函数()y g x =，两者皆可导，且()0≠′x f则 ()()()[]y g f x f y g ′=′=′11 ()()0≠′x f 二阶导数()()[]()dxdy dxx f d dy y g d y g 11⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡′=′=′′()()[]()[]()[]{}33y g f y g f x f x f ′′′−=′′′−= ()()0≠′x f6．隐函数运算法则设()x y y =是由方程()0,=y x F 所确定，求y ′的方法如下：把()0,=y x F 两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y ′的表达式（允许出现y 变量）7．对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y ′。

对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数()[]()x g x f y =常用的一种方法()()x f x g e y ln =这样就可以直接用复合函数运算法则进行。

8．可微与可导的关系()x f 在0x 处可微()x f ⇔在0x 处可导。

9．求n 阶导数（2≥n ，正整数） 先求出,,,Λy y ′′′总结出规律性，然后写出()n y ，最后用归纳法证明。

有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1）xe y = ()x n e y=（2）()1,0≠>=a a a y x ()()nx n a a y ln =（3）x y sin = ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2sin πn x yn（4）x y cos = ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2cos πn x yn(5) x y ln = ()()()n n n x n y−−−−=!111两个函数乘积的n 阶导数有莱布尼兹公式()()[]()()()()()∑=−=nk k n k k n n x v x u C x v x u 0其中 ()!!!k n k n C kn −=， ()()()x u x u =0，()()()x v x v =0假设()x u 和()x v 都是n 阶可导。