初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。

1． 请看下面的例子：（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。

(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)（2） ①设n Z ∈，证明2131n-是168的倍数。

②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3231122n n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。

（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4） 证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。

（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：[][][][]()()()()22,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。

2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。

（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。

这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。

如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。

3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

（2007全国初中联赛12）（3）①是否存在正整数,m n ，使得(2)(1)m m n n +=+？②设(3)k k ≥是给定的正整数，是否存在正整数,m n ，使得()(1)m m k n n +=+？ （2007全国初中联赛14） （4）关于,x y 的方程22229x xy y ++=的整数解(,)x y 得组数为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、无穷多（2009全国初中联赛5） （5）已知12345,,,,a a a a a 是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()12345()2009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 （2009全国初中联赛8）（6）已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和。

（2009全国初中联赛12） （7）n 个正整数12,,,n a a a 满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12,,,n a a a 中任意1n -个不同的数的算术平均数都是正数，求n 的最大值。

（2009全国初中联赛14） (8)在一列数123,,,x x x …中，已知11x =，且当2k ≥时，11214()44k k k k x x ---⎡⎤⎡⎤=+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[][]2.62,0.20==）则2010x 等于（ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 （2010全国初中联赛4） （9）求满足22282p p m m ++=-的所有素数P 和正整数m 。

（2010全国初中联赛13）（10）从1,2,,2010…这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ （2010全国初中联赛14）（11）设四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为 （2011全国初中联赛10）（12）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a+b+c 的值（2011全国初中联赛11）（13）若从1,2,3,,n …中任取5个两两互素的不同的整数12345,,,,a a a a a 其中总有一个整数是素数，求n 的最大值。

（2011全国初中联赛13） （14）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：12,,n a a a …，例如221213a =-=，222325a =-=，……那么2007a =（2007福建省高一数学竞赛12）（15）求最小的正整数n ，使得集合{1,2,3,,2007}…的每一个n 元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂。

（2007福建省高一数学竞赛14） （16）两条直角边长分别是整数a 和b(其中b<1000)，斜边长是b+1的直角三角形有（ ） A 、20个 B 、21个 C 、22个 D 、43个（2008福建省高一数学竞赛5）（17）设x 、y 为非负整数，使得2x y +是5的倍数，x y +是3的倍数，且299x y +≥，则75x y +的最小值为（2008福建省高一数学竞赛11） （18）正整数1212a a a ≤≤≤…中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则121a a 的最小值是 （2008福建省高一数学竞赛12）（19）设{1,2,3,,}S n =…（n 为正整数），若S 得任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除，求n 的最大值。

（2008福建省高一数学竞赛17）（20）设[]x 是不超过x 的最大整数，则1235003333log log log log ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦…=（2009福建省高一数学竞赛11）（21）已知集合M 是集合{1,2,3,,2009}S =…的含有m 个元素的子集，且对集合M 的任意三个元素x,y,z 均有x+y 不能整除z ，求m 的最大值。

（2009福建省高一数学竞赛17）（22）已知a,b,c 为正整数，且1c b a >>>，111()()()a b c c a b---为整数，则a+b+c=（2011福建省高一数学竞赛12） （23）正整数500n ≤，具有如下性质：从集合{1,2,,500}…中任取一个元素m ，则m 整除n 的概率是1100，则n 的最大值是（2008福建省预赛12） （24）设()f x 施周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<，证明：（1）若T 为有理数，则存在素数P ，使1p是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足10n m a a >>>，（n=1,2, …）且每个n a 都是()f x 的周期 （2008全国高中联赛加试二）（25）方程[]92x x=的实数解事 （其中[]x 表示不超过x 的最大整数） （2009福建初赛9）（26）设}1,1,2,,2010i x i ∈=…，令123420092010S x x x x x x =++…（1）S 能否等于2010？证明你的结论； （2）S 能取到多少个不同的整数值？（2009福建初赛14）（27）设,k l 是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得km C 与l 互素。

（2009全国高中联赛加试三）（28）已知集合{}230123777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{}0,1,2,3,4,5,6ia ∈，0,1,2,3i =，且30a ≠，若正整数,m n A ∈，且2010,m n m n +=>，则符合条件的正整数m 有 个。

（2010福建预赛6）（29）将方程[]334x x -⨯=的实数解从小到大排列得12,,k x x x …，则3333123k x x x x +++…的值为（2010福建预赛8）（30）设k 是给定的正整数，12r k =+，记(1)()(1)()()[],()(())l l f r f r r r f r f fr -===，2l ≥。

证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数。

这里，[]x 表示不小于实数x 的最小整数。

（2010全国高中联赛加试二）（31）已知正整数x,y,z 满足条件(14)(14)(14)xyz x y z =---，且28x y z ++<，则222x y z ++的最大值为（2011福建预赛7）（32）证明：对任意整数4,n ≥存在一个n 次多项式1110()n n n f x x a x a x a --=+++…具有如下性质：（1）011,,,n a a a -…均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意(2)k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r …均有12()()()()k f m f r f r f r ≠… （2011全国高中联赛加试二）（33）证明：存在无穷多个正整数n ，使得21n +有一个大于2n +（2008第49届IMO.3）（34）设n 是一个正整数，12,,(2)k a a a k ≥…是集合{}1,,n …中互不相同的整数，使得对于1,,1i k =-…都有n 整除1(1)i i a a +-。

证明：n 不整除1(1)k a a - （2009第50届IMO.1）本资料主要介绍中学代数课程里未能深入谈到的整数的性质及其应用，初等数论的解题过程通常不涉及很多的基础知识，重要的是机智和灵活。

本资料除打上“*”的是少数内容外，初二年以上的学生均可学习掌握。

为叙述方便，本资料中的字母均表示整数。

交有Z ，N*，Z*分别表示整数集，正整数集和非零整数集。

整数的概念、分类、自然数两种理论（基数理论，序数理论）基数用于表示“多少”：将所有有限集分类，使所含元素个数一样多的集合成为同一类，对每一类用一个记号来表示它们（这一类的集合）所含元素个数一样多这个共同特征。

这个记号就是一个自然数。

公理化的方法：对已有的知识进行深入的分析，选择其中一些基本关系作为不定义的概念，一些基本性质作为不加证明的公理，建立起公理系统。

然后由所建立的公理系统出发，应用形式逻辑的方法，来给出其它有关概念的定义，并证明各种命题。

序数表示“第几”*（peano 定理）如果非空集合N*中的某些元素之间有一个基本关系“直接后继”（元素a 的直接后继记为a ’），且N*满足以下条件： 1．**1,N a N ∃∈∀∈，必有1a '≠ 2．()**,a b a b a N b N ''=⇒=∈∈ 3．()**,a b a b a N b N ''=⇒=∈∈ 4．N*的子集M 若具有下面的性质))*1,i M ii a M a M M N '∈∈⇒∈=则定理1 带余除法设a Z ∈，*b Z ∈则有且只有一对整数q 与r ，使得a bq r =+其中0<r b ≤定义1、定理1中的q 与r 分别称a 除以b 的不完全商与最小非负余数，简称商和余数。