数论部分2018A 四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 与∑=ni ia1互素，且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现。

★证明：显然11=a 或者12=a .下面考虑整数1>m ，设m 有k 个不同的素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现.记n n a a a S +++= 21，1≥n .1=k 时，m 是素数方幂，记αp m =，其中0>α，p 是素数.假设m 不在{}n a 中出现.由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当N n ≥时，都有αp a n >.若对某个N n ≥，n S p |/，那么αp 与n S 互素，又n a a a ,.,,21 中无一项是αp ，故有数列定义知αp a n ≤+1，但是αp a n >+1，矛盾！因此对每个N n ≥，都有n S p |.又1|+n S p ，可得1|+n a p ，从而1+n a 与n S 不互素，这与1+n a 的定义矛盾！假设2≥k ，且结论对1-k 成立.设m 的标准分解为k k p p p m ααα2121=.假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数/N ，当/N n ≥时，都有m a n >.取充分大的正整数121,,-k βββ ，使得n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-βββ .我们证明，对/N n ≥，有M a n ≠+1.对于任意/N n ≥，若n S 与k p p p 21互素，则m 与n S 互素，又m 在n a a a ,.,,21 中均未出现，而m a n >+1，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意/N n ≥，n S 与k p p p 21不互素*， ⑴若存在i （11-≤≤k i ），使得n i S p |，则()1,1=+n n S a ，故1|+/n i a p ，从而M a n ≠+1（因为M p i |）。

⑵若对每个i （11-≤≤k i ），均有n i S p |/，则由*知，必有n k S p |.于是1|+/n k a p ，进而1|++/n n k a S p ，即1|+/n k S p .故由*知：存在0i （110-≤≤k i ），使得1|0+n i S p ，再由n n n a S S +=+1及前面的假设n i S p |/，可知1|0+/n i a p ，故M a n ≠+1。

因此，对1/+≥N n ，均有M a n ≠，而n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-βββ ，故M 不在{}n a 中出现，这与假设矛盾！因此，若m 有k 个不同的素因子，则m 一定在数列{}n a 中出现.由数学归纳法知，所以正整数均在数列{}n a 中出现。

2018B 四、（本题满分50分）给定整数2≥a 。

证明：对任意正整数n ，存在正整数k ，使得连续n个数1+k a ，,,2 +ka n a k+均是合数。

★证明:设r i i i <<< 21是n ,,2,1 中与a 互素的全体整数，则n i ≤≤1，{}r i i i i ,,,21 ∉，无论正整数k 如何取值，i a k +均与a 不互素且大于a ，故i a k+为合数。

对任意r j ,,2,1 =，因1>+j i a ，故j i a +有素因子j p .我们有()1,=a p j （否则，因j p 是素数，故j p a |，但j p j i a +|，从而j p |j i ，即a 与j i 不互素，与j i 的取法矛盾）.因此，由费马小定理知，()i p p amod 11≡-现取()()()111121+---=r p p p k ，对任意r j ,,2,1 =，注意到()1mod 1-≡j p k ，故有()j j j k p i a i a mod 0≡+=+.又j j j k p i a i a ≥+>+，故j k i a +为合数。

综上所述，当()()()111121+---=r p p p k 时，1+k a ，,,2 +ka n a k+均是合数。

2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： 75★解析：考虑平稳数abc 。

①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；②若1=b ，则{}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数；综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。

2017B 8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为 ◆答案：574★解析：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为2010(1022)11(20210)5722b b =+⨯-==∑， 当2c =时，由201720[]100b ≤≤，知，20b =，进而2017200[]20110a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)abc .综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.2016A 8、设4321,,,a a a a 是100,,3,2,1 中的4个互不相同的数，满足()()2433221242322232221)(a a a a a a a a a a a a++=++++，则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 ◆答案：40★解析：由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列．于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数．设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数．记mnq =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠． 先考虑m n >的情况．此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31m a l =为正整数． 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数．这表明，对任意给定的1>=mnq ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n． 由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为 20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++． 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a ． 综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a ．2016A 四、（本题满分50分）设p 与2+p 均是素数，3>p ，数列{}n a 定义为21=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--n pa a a n n n 11， ,3,2=n ，这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数。

证明：对1,,4,3-=p n ，均有)1(|1+-n pa n 成立。

★证明：首先注意到，数列{}n a 是整数数列。

对n 用数学归纳法。

当3=n 时，由条件知p a +=22，故()2211+=+p pa ，又p 与2+p 均是素数，且3>p ，故必须1|3+p ，因此1|32+pa ，即3=n 时，结论成立。

对13-≤<p n ，设1,,4,3-=n k 时结论成立，即1|1+-k pa k ，此时k pa k pa k k 111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--， 故()()11111111222221--++=+⎪⎭⎫⎝⎛-+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+------k k p pa k pa a p k pa a p pa k k k k k k故对13-≤<p n 时，有()()()()()==+--+--+=+--+=+--- 122111111321n n n pan n p n n p pan n p pa()()()()nn p C p n p p n pap n n p n n p ++++=++--+--+=)2)(()1(213322112，显然)1)(2)((|1+++-n pa p n p n ，★因为p n <，p 是素数，故1),(),(==+p n p n n ，又2+p 是大于n 的自然数，故1)2,(=+p n ，从而n 与)2)((++p p n 互素，故由★可知)1(|1+-n pa n 。

由数学归纳法知，对1,,4,3-=p n ，均有)1(|1+-n pa n 成立。

2016B 8、设正整数n 满足2016≤n ，且312642=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x -=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．◆答案：168★解析：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=共有168个．★解析：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168.2016B 一、（本题满分40分）非负实数201621,,,x x x 和实数201621,,,y y y 满足：（1）122=+k k y x ,2016,,2,1 =k ；（2）201621y y y +++ 是奇数． 求201621x x x +++ 的最小值．★解析：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤=于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤则201611,2016.mk k k k m y m y m ==+≤-≤-∑∑若11mk k y m =>-∑，并且201612015,k k m y m =+->-∑令2016111,2015,m kk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,mkkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤-∑，或者201612015,k k m y m =+-≤-∑则201620161112015.m k k k k k k m y y y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ==========时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++的最小值为1．2016B 二、（本题满分40分）设k n ,是正整数，且n 是奇数．已知n 2的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：n 2有一个约数d ，满足k d k 2≤<证明：记{n d d A 2||=,d 是奇数，} 0k d ≤<，{n d d A 2||=,d 是偶数，} 0k d ≤<，则φ=B A ,n 2的不超过k 的正约数的集合是B A★证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅的不超过k 的正约数的集合是.AB若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2kd k '≤<，故,d A '∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．∴ 145=-=AM ，945=+=BM ，835=+=CN 235=-=DN ． 若设2=q ，则同法可得3=u ，4=v ，与v u >矛盾，舍去． 又证：在得出q p ,互质且其中必有一为偶数之后． 由于()1,=nm qp ，故必存在互质的正整数b a ,(b a >)，使n q b a=-22，m p ab =2，r b a =+22．或m p b a =-22，n q ab =2，r b a =+22．若mp ab =2，得2=p ，ma 2|，mb 2|，故λ2=a ，μ2=b ，由b a ,互质，得0=μ，∴1=b ，12-=m a ．()()1212121122-+=-=---m m m n q ．故αq m =+-121，βq m =--121，(n =+βα，且βα>)．∴ ()12-=-=-βαββαqq q q ．由q 为奇数，得0=β，12-=n q ，3=n q ，从而2,2,4,1,32=====m a a n q ．仍得上解．。