第4章 控制系统的稳定性分析
取李雅普诺夫函数为
V
(x)
1 2
( x1
x2
)2
x12
1 2
x22
若x≠0，V(x)>0；若x=0，V(x)=0，即V(x)正定。将V(x)代入原
式有
V ( x) (x1 x2 )(x1 x2 ) 2x1x1 x2x2 (x12 x22 )
显然 V (x) 负定，根据定理4-1，原点是渐近稳定的。因为只有 一个平衡状态，该非线性系统是大范围渐近稳定的。又因为 V(x)与t无关，系统大范围一致渐近稳定。
第4章 控制系统的稳定性分析
5. 不稳定性
对于任意的实数ε>0，存在δ(ε，t0)>0，不论δ值取得多
么小，在满足不等式‖x0－xe‖≤δ的所有初始状态中，至少存
在一个初始状态x0，由此出发的状态轨迹x(t)，
不满足不等式
lim
t
x(t) x e
，则称xe为李雅普诺夫意义下
的不稳定，简称不稳定。可以用平面几何解释为： 只要在
x1 x2
0 0
0 0
在任意时刻，系统的总能量E(x1，x2)包括电容的存能和电感 的存能，即
E
x1,
x2
1 2
Lx12
1 2
Cx22
第4章 控制系统的稳定性分析
显然当x1，x2=0时，E(x1，x2)=0，当x1，x2≠0时，E(x1，x2)>0。 也就是说，除原点外系统能量总大于零，而能量随时间的变化
E
x1,
x2
Cx2 x2
Lx1x1
Cx2
(1 C
x1 )
Lx1(
R L
x1
1 L
x2
)
Rx12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
说明在电阻R≠0的情况下，能量总是衰减的，直到能量消耗完，
稳定在状态零点。
从例4-3可看出，渐近稳定系统的系统能量总是衰减的。为
此，李雅普诺夫虚构一个能量函数来表征这一过程，称为李雅
普诺夫函数。在李雅普诺夫第二法中，能量函数V(x，t)和其对
第4章 控制系统的稳定性分析
第4章 控制系统的稳定性分析
4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫第二法 4.3 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.4 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.5 非线性系统的稳定性分析 4.6 MATLAB在系统稳定性分析中的应用
第4章 控制系统的稳定性分析
第4章 控制系统的稳定性分析
6. 二次型函数 二次型函数如下所示：
V ( x) xTPx [x1 x2
p11 p12
xn
]
p21
p22
p1n
p2n
p1n x1
p2n
x2
n i 1
pij xi x j
pnn
xn
j1
(4-5)
注意，这里的x为实向量，P为二次型各项系统构成的实对称
4.1 李雅普诺夫稳定性定义
4.1.1 系统的平衡状态 设控制系统的齐次状态方程如下：
x f (x,t)
x(t) t t0
x0
式中，x为n维状态向量；t为时间变量；f(x，t)为n维函数。
如果对于所有t，满足
xe f ( xe ,t) 0
(4-1)
的状态xe称为平衡状态(又称为平衡点)。也就是说，平衡状态 的各分量不再随时间变化，如果系统不加输入，则状态就永
第4章 控制系统的稳定性分析
定理4-2 若V(x)正定，V ( x) 负半定，且在非零状态不恒 为零，则原点是渐近稳定的。
V ( x)负半定表示在非零状态存在V ( x)=0，但在从初态 出发的轨迹x(t；x0，t0)上，不存在V(x)=0的情况，于是系统 将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而 不会维持在该状态。
第4章 控制系统的稳定性分析
4.2 李雅普诺夫第二法
在李雅普诺夫第二法中，用到了一类重要的标量函数， 即二次型函数。因此在介绍李雅普诺夫第二法之前，先介绍 一些有关二次型函数的预备知识。 4.2.1 预备知识
1. 标量函数的正定性 如果对所有在域Ω中的非零状态x≠0，有V(x)>0，且在 x=0处有V(0)=0，则在域Ω(域Ω包含状态空间的原点)内的标 量函数V(x)称为正定函数。
例4-5 试运用定理4-2判断例4-4中系统平衡状态的稳定 性。
解： 选V(x)=x21+x22，正定。求导后得V ( x) =－2x22，对 于非零状态(如x2=0，x1≠0)存在 V ( x=) 0，对于其余非零状态， <0，V故( x) 负半定V (。x)根据定理4-2，原点是渐近稳定的，且 是大范围一致渐近稳定。
判断二次型V(x)的负定性可用－V(x) 同样利用赛尔维斯 特准则来判断。如果－V(x)是正定的，则V(x)是负定的。如果 －V(x)是正半定的，则V(x)是负半定的。
例4-2 试证明二次型V(x)=2x21+3x22+x23－2x1x2+2x1x3是正 定的。
第4章 控制系统的稳定性分析
解： 二次型V(x)可写为
之间的距离，称为向量(x0－xe)的范数，其数学表达式为
x0 xe ( x10 x1e )2 ( xn0 xne )2
(4-3)
第4章 控制系统的稳定性分析
按照范数的定义，‖x0－xe‖≤δ可相应地看做以xe为中心，δ为 半径的一个闭球域，可用点集S(δ)表示。因此，李雅普诺夫 意义下稳定的平面几何解释为：
(4-2)
第4章 控制系统的稳定性分析
4.1.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1. 李雅普诺夫稳定性
如果对于任意小的实数ε>0，均存在一个实数δ(ε，t0)>0，
当初始状态满足‖x0－xe‖≤δ时，系统运动轨迹满
足 lim t
x(t) x e
，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下的
稳定，简称稳定。其中，‖x0－xe‖表示状态空间中x0点至xe点
S(δ)内有一条从x0出发的轨迹跨出S(ε)，则称此平衡状态是不 稳定的，见图4-1(c)。
第4章 控制系统的稳定性分析 在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与李 雅普诺夫意义下的稳定性概念是有一定区别的。例如，在经 典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。按李 雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动 时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过S(ε)，则认 为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的 稳定极限环。
定理4-1 若V(x)正定，V ( x) 负定，则原点是渐近稳定的。 V负( x定, t ) 表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性 定义叙述一致。 例 4-4 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的 稳定性。
x1 x2 x2 (x1 x2 )
解: 令 x 0 ，解得原点xe=0是系统的惟一平衡状态。
第4章 控制系统的稳定性分析
2. 标量函数的负定性 如果－V(x)是正定函数，则标量函数V(x)称为负定函数。 3. 标量函数的正半定形 如果标量函数V(x)除了原点以及某些状态等于零外，在域 Ω内的所有状态都是正定的，则V(x)称为正半定标量函数。 4. 标量函数的负半定性 如果－V(x)是正半定函数，则标量函数V(x)称为负半定函 数。 5. 标量函数的不定性 如果在域Ω内，不论域Ω多么小，V(x)既可为正值，也可 为负值时，标量函数V(x)称为不定的标量函数。
系统矩阵A非奇异的线性定常系统，xe=0是系统的唯一平衡 状态。当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别
进行讨论。如果各平衡状态彼此是孤立的，则可以通过线性
变换，将非零的平衡状态转移到状态空间坐标原点。所以对
于这些系统，我们一般笼统地用状态空间原点的稳定性代表
系统稳定性。即
xe f ( xe ,t) f (0, t) 0
第4章 控制系统的稳定性分析
2. 一致稳定性 通常δ与ε、t0都有关。如果δ与t0无关，则称平衡状态是 一致稳定的。定常系统的δ与t0无关，因此定常系统如果稳 定，则一定是一致稳定的。 3. 渐近稳定性 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性， 且有
lim
t
x(t) x e
0
(4-4)
第4章 控制系统的稳定性分析 例4-3 若初始条件不为零，分析图4-2所示电路的能量 变化过程。
图4-2 RLC电路
第4章 控制系统的稳定性分析
解：取状态变量x1=i，x2=uc。设加电后，输入ur=0，则 该系统的状态方程为
x1 x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
,
2 1 1 x1
V ( x) xT Ax x1
x2
x3 1
3
0
x2
1 0 1 x3
利用赛尔维斯特准则，可得
2 1
2 1 1
2 0,
5 0, 1 3 0 2 0
1 3
1 01
因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以V(x)是正定的。
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4.2.2 李雅普诺夫第二法稳定性定理 李雅普诺夫稳定性判据有第一法和第二法。 第一法基本思路是： 首先将非线性系统线性化，然后计
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定理4-3 若V(x)正定，V ( x) 负半定，且在非零状态恒为 零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。
矩阵。
二次型V(x)的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指
出，二次型V(x)为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式
均为正值，即
第4章 控制系统的稳定性分析
p11 0,
p11 p12 0, , p12 p22