x1

x2
8km 1 4k 2
由韦达定理得

x1
x2

4m2 4 1 4k 2
………………………7
分
AB
1 k 2 x1 x2
1 k2
16(4k 2 1 m2 ) 1 4k 2
……………8 分
S AOB

1 2
AB
∴ PA AB
分别以 AD，AB，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空 间直角坐标系
由 已 知 可 得 A（ 0,0,0） ， C(-2,4,0),D(-2， 0, 0),P(0,0,2) …………………………………………………9 分
z
P
E
D A
x
∴ PD （- 2,0，- 2）， AC （- 2，4，0）
y 2 4x
3x 2 10x 3 0 …………10 分
∴
x1

x2
=
10 3
∴d=
x1

x2

2

10 3

2

8
………12
分
2
23
y k(x 1)
（解法二）（2）联立方程组

y
2

4x
，消去 y ，得
k 2 x2 (2k 2 4)x k 2 0
∴
x1
共 6 分；其它解法酌情给分。)
a 2b
a 2
21.
解：(1)由已知得 c

3
，解得
c

3 ………3 分（正确求出 a,b 的值就给 3
a 2 b2 c 2
b 1
分，仅正确求出 c 得 1 分，只正确求出 a,b 中的一个，给 2 分）
椭圆 C 的标准方程是 x 2 y 2 1 4
19. 解： 设 A（x1, y1 ), B（x 2 , y2 ) （1）当直线 l 的倾斜角为 45°时，直线 l 的方程为 y x 1 ……………2 分
y x 1
联立方程组

y
2
4x
，消去
y
，得
x2

6x
1

0 …………4
分
∴ x1 x2 =6
∴ AB x1 x2 2 6 2 8 …………6 分 (说明：直接套公式 AB 2 p 2 p 2 p ，计算正确给 5 分，公式正确，计算错误给 2
m
2 m 4k 2 1 m2

1 k2
1 4k 2
………………9 分
2 4k 2 1 m2 m2 1 4k 2 1 4k 2

4k 2
1 m2 1 4k 2
m2
1(当且仅当4k 2
1 2m2时，等号成立）
AOB的面积的最大值为1 .…………………10 分 （不指出等号成立的条件不
扣分）
(3) 设 M（x, y )
当斜率存在时，设直线AB的方程：y kx m(m 0)
y kx m

x
2

4y2

4

(1
4k
2 )x2

8kmx

4m 2

4

0
由韦达定理得 x

x1
x2 2
4km 1 4k 2
…………………11 分
由（2）可知当且仅当4k 2 1 2m2时 ， AOB的面积取最大值
10
………13 分
10
(说明：用等体积法计算出点 C 到平面 ABE 的距离，给 4 分， AC 与平面 ABE 所成 的角的正弦值计算正确，再给 2 分，共 6 分；用传统几何法得出 AC 与平面 ABE 所成的角 为 ，给 3 分，解出高给 2 分，最后 AC 与平面 ABE 所成的角的正弦值计算正确给 1 分，
C
By
∵ PD 平面ABE
∴ PD是平面ABE的一个法向量 ………………11 分 设 AC 与平面 ABE 所成的角为
则 sin
PD AC
(2) (2) 0 4 (2) 0


10
PD AC
2 2 (2)2 42 0
10
即 AC 与平面 ABE 所成的角的正弦值为
16.3
1
17.
3
三、解答题（4 小题，共 52 分）
18.
解：(1)设 P(x, y) ,则
PO

1
…………………………2 分
PA 2
∴
x 2 y 2 1 …………………………4 分
(x 3)2 y 2 2
化简，得 (x 1)2 y 2 4
∴点 P 的轨迹方程为 (x 1)2 y 2 4 ……………6 分（只要化简结果正确都给 6 分）
k 2 sin 2
分)
（解法一）（2）设 FB m, 直线 l 的倾斜角为 ,则 AF 3m,
∴ tan
(4m)2 (2m)2 =
3 （说明：没有 不扣分）
2m
∴直线 l 的方程： y 3(x 1) ………8 分
θ
d θ
y 联立方程组
3(x 1) ，消去 y ，得

x
4km 1 4k 2

- 4km 2m 2

2k m
…………………12 分
y

kx

m

k

2k m

m

1 2m

m

1 2y
代入 4k 2
k


x 4y
1 2m2 化简得 x 2 2

y2 1 2
1………14 分
当直线 AB 的斜率不存在时，线段 AB 的中点 M（
………4 分
（2）设 A（x1, y1), B（x2 , y2 )
当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB的方程：x x1(2 x1 0, 或0 x1 2)
S AOBຫໍສະໝຸດ 1 2AB
x1

1 x12 4
x1

1 2
x12
(4
x12 )

1 2
x12
(4 2
x12 )
1
(当且仅当x1 2时，等号成立）…………6 分（不指出等号成立的条件不扣分）
当斜率存在时，设直线AB的方程：y kx m(m 0)
y kx m

x
2

4y2

4

(1
4k
2
)x2

8kmx

4m 2

4

0
64k 2m2 16(1 4k 2 )(m2 1) 16(4k 2 1 m2 ) 0
（2）设圆 C : (x 1)2 y 2 4 ,则当 BC⊥ l 时，线段 MN 的长最小………8 分
∵ BC (2 1)2 (1 0)2 2 ……………10 分
∴ MN 2 22 ( 2)2 2 2 min
即线段 MN 的长的最小值是 2 2 ……………12 分（说明：其它解法酌情给分）
2018 学年第一学期温州新力量联盟期末联考 高二年级数学学科 参考答案
一、选择题（每题 4 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 B
A
D
B
A
A
C
D
C
D
二、填空题（每题 4 分，共 28 分）
11．45°
12. 15
13. 3
14.100 CM2 （说明：没有单位 CM2 不扣分）
15. 2x y 3 0 ( 说明：能化简为该答案的答案都不扣分)
2,0) ,显然满足方程 x 2 y 2 1 21 2
当 △AOB 的面积的取最大值时，线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 x 2 y 2 1 .……15 21 2
分（说明：其它解法酌情给分）

10 3

2

8
………12
分（说明：其它解法酌情给分）
2
23
20. (1) 证明：∵平面 PAD ⊥平面 ABCD AD AB
平面 PAD ∩平面 ABCD = AD
AB 平面ABCD
P
E C
D
A
B
∴ AB 平面PAD …………2 分
又∵ PD 平面PAD
∴ PD AB ………4 分

x2

2

4 k2
x1 x2 1
1 ………8 分
AF (1 x1, y1) ， FB (x2 1, y2 )
∵ AF 3FB ∴1 x1 3(x2 1)
(2) ………10 分
联立 (1)
(2)
解得 k 2

3, x1

x2

10 3
∴d=
x1

x2

2
在 RtPAD中 ， DPB 45，
∴ DPB PDA 45， ∴ PA AD，
又∵E 是 PD 的中点
∴ PD AE ………6 分
又∵ AE AB A AE 平面ABE AB 平面ABE