2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．直线l ：3x +y ﹣3＝0的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．90°【答案】C【分析】根据直线方程求得斜率，再由 tan k α=求解. 【详解】直线l ：3x +y ﹣3＝0的倾斜角为α 则tan 3k α==-， 因为 [0,180)α∈︒， 所以120α=︒ 故选：C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.2．若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//AC O B ''''，A C B C ''⊥''，1A C B C ''=''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为（ ）A ．32B ．3C ．32D ．62【答案】C【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可【详解】根据图像可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，且'''4A OB π∠=，B C O'B'⊥''，1A C B C ''=''=，2O B ''=，''2A O ∴=，2''22AO AO==，''1AC A C ==，''2OB O B ==，且AO OB ⊥，//AC OB ，所以，原四边形AOBC 的面积为11()(12)223222S AC OB AO =+⨯=⨯+⨯=故选： C【点睛】关键点睛：根据题意，得到四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形是解题关键，进而可以得出原四边形AOBC 的面积为1()2S AC OB AO =+⨯，属于基础题 3．函数()()2lg 4x f x x -=+-的定义域是（ ） A ．()2,4 B ．()3,4C ．()(]2,33,4 D ．[)()2,33,4【答案】D【分析】根据函数解析式，利用分式、根式、对数的性质即可求函数定义域.【详解】要使函数有意义，则203040x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即23x ≤<或34x <<，故函数的定义域为[)()2,33,4．故选：D ．4．关于直线m ，n ，l 及平面α，βλ，，下列命题中正确的是（ ） A ．若m l ⊥，n l ⊥，则//m n B ．若m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥C ．若αλ⊥，βλ⊥，则//αβD ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥ 【答案】D【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系，逐个选项判断即可【详解】对于A.，由m l ⊥，n l ⊥，在同一个平面可得//m n ，在空间不成立，故A.错误；对于B ，由线面垂直的判定定理知少相交条件，故B 错误；对于C ，当三个平面α，β，λ两两垂直时，显然结论错误，故C 错误； 对于D ，若m α⊥，//m β，则αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．5．实数x ，y 满足约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．5-D ．6-【答案】C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到答案．【详解】由题意，作出约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，所表示的平面区域，如图所示，由目标函数2z x y =-，可得直线2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值， 联立10220x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得()4,3A --，所以目标函数的最小值为min 2(4)(3)5z =⨯---=-， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6．函数()()2sin ,0,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则ω的值是（ ）A ．4B ．2C ．65D ．125【答案】B【分析】根据三角函数的性质，先求出T π=，进而利用公式求出ω即可 【详解】由图象可得35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．故可解得：T π=． 故有：222T ππωπ===． 故选：B7．刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则此阳马的体积为（ ）A ．83B ．163C ．8D ．16【答案】B【分析】由三视图还原原图，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图还原原图如下图所示几何体1A ABCD -，该几何体为四棱锥，体积为()11642233⨯⨯⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据三视图求几何体的体积，属于基础题.8．若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( ) A ．32B ．23C ．33D ．2【答案】A【分析】先求AB 中点M 所在的直线方程，再求原点到直线的距离得解. 【详解】点M 一定在直线7502x y ++-=，即60x y +-=， ∴M 322=故选：A【点睛】本题主要考查点的轨迹问题，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.注意夹在两条平行直线120,0ax by c ax by c ++=++=正中间的平行线方程为1202c c ax by +++=. 9．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【分析】由已知可得P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可.【详解】由题意：底面ABCD 为正方形， 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥， 面PAD面ABCD AD =，P A ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ， 连接CM ，AM ， ∵PM ∥AD ，AD ∥BC ， PM ＝AD ，AD ＝BC ． ∴ PBCM 是平行四边形， ∴ PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角． 设P A ＝AB ＝a ， 在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===，∴三角形ACM 是等边三角形． 所以∠ACM 等于60°， 即异面直线PB 与AC 所成的角为60°．故选：C.【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到P A ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角． 10．平面向量a 、b 、e 满足1e =，1a e ⋅=，2b e ⋅=，2a b -=，则a b ⋅的最小值为（ ） A ．12B ．54C ．1D ．2【答案】B【分析】取()1,0e =，设11,ax y 、22,b x y ，根据已知条件计算得出11x =，22x =，根据2a b -=可计算得出()2123y y -=，由a b ⋅取最小值，可得出120y y <，不妨设10y <，可得20y >，进而利用基本不等式可求得a b ⋅的最小值.【详解】设11,ax y ，22,b x y ，e 满足1e =，不妨取()1,0e =.平面向量a 、b ，满足1a e ⋅=，2b e ⋅=，即11a e x ⋅==，22b e x ⋅==，()11,a y ∴=，()22,b y =，2a b -=2=，化为()2123y y -=．122a b y y ⋅=+取最小值，只考虑120y y <．不妨取20y >，10y <．()2121212522224y y a b y y y y -+⎛⎫∴⋅=+=--≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当12y y -==a b ∴⋅的最小值为54．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的最值，在求解时可将向量特殊化、坐标化来处理，在求解最值时，可充分利用基本不等式以及三角函数、函数等相关知识求解.二、填空题11．如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．【答案】7【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A 到C 的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离.【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧AB 长为122ππ⨯=，∴3AVB π∠=，则3AVC π∠=，由余弦定理可知22212cos 9123172AC VA VC VA VC AVC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，7AC =7．12．已知函数()242f x x a x =-++，[]4,4x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是______．【答案】6a ≤-【分析】等价于2a x ≤--，再画出函数2y x =--，[]4,4x ∈-的图象求出函数的最小值即得解.【详解】∵()f x 的最大值是0，∴函数()()242220f x x a x x x a =-++=+-+≤，∴当2x =-时，0f x 恒成立，当2x ≠-时，∴20x a -+≤，∴2a x ≤--，设2y x =--，[]4,4x ∈-，其函数图象如图：由图象可知，当4x =-时，min 426y =---=-， ∴实数a 的取值范围为6a ≤-． 故答案为：6a ≤-．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到原命题的等价命题，由()()220f x x x a =+-+≤得到2a x ≤--在[]4,4x ∈-上恒成立.再画函数的图象求函数的最小值就自然而然了.13．已知一个三棱锥P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，则它的外接球的表面积为______. 【答案】412π 【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积． 【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==， ∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3， 则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，则x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9， ∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为222241R 2x y z =++=∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为24142R．故答案为412π． 【点睛】本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．三、双空题14．设两直线()1:3453l m x y m ++=-与()2:258l x m y ++=.若12//l l ,则m =_____,若12l l ⊥,则m =_____．【答案】-7 133-【分析】由直线平行,得()()3542m m ++=⨯ 解出方程进行检验可得m 的值;由直线垂直可得,()()23450m m +++=解出方程即可得m 的值.【详解】解:当12//l l 时, ()()3542m m ++=⨯,解得1m =- 或7m =- 当1m =- 时,12,l l 两直线重合,不符合题意.即7m =- 当12l l ⊥时, ()()23450m m +++=,解得133m =- 故答案为:-7; 133-【点睛】本题考查了直线的平行和垂直问题.一般地,对于两条直线,1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=.当12//l l 时,1221A B A B =; 当12l l ⊥时,12120A A B B +=.本题的易错点在于,在平行问题中,求出m 的值后没有代入方程检验两直线是否重合. 15．函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________. 【答案】π8π【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.16．设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若159a a a π++=，则()28cos a a +=_______；若0n b >，且56474b b b b +=，则1210b b b =_______．【答案】12-32 【分析】根据等差数列的性质即可解决p q m n p q m n a a a a +=+⇒+=+即可解决第一空，根据对比数列的性质p q m n p q m n a a a a +=+⇒⋅=⋅即可解决第二空． 【详解】因为列{}n a 为等差数列，159a a a π++=，所以5533a a ππ=⇒=，所以()()28521cos cos 2cos32a a a π+===-．又因为数列{}nb 为等比数列0n b >，且56474b b b b +=，所以5656242b b b b =⇒=，所以()55121056232b b b b b ⋯===．【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的性质：在等差数列中有p q m n p q m n a a a a +=+⇒+=+，在等比数列中有p q m n p q m n a a a a +=+⇒⋅=⋅，属于中等题．17．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b =，则b 在a 方向上的投影是________，()a b R λλ-∈的最小值是________．【答案】52-【分析】向量b 在a 方向上的投影为cos ,b a b <>求出，平方2222()2cos120a b a b a b λλλ-=+-，转化为求函数最值可解. 【详解】因为平面向量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b = 向量b 在a 方向上的投影为5cos ,5cos1202b a b <>=⨯=-2222()2cos120a b a b a b λλλ-=+-221425+10=25()35λλλ=+++所以当1=5λ-时，min 3a b λ-= 故答案为：52-【点睛】求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22·a a a a ＝＝或2222||2()a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．四、解答题18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，且()22b c b c a +-=．（1）求A 的大小；（2）若ABC 的面积等于5b =，求sin sin B C 的值． 【答案】（1）3A π=；（2）57． 【分析】（1）根据题意结合余弦定理得1cos 2A =，进而得3Aπ=； （2）结合（1），由ABC 的面积等于得20bc =，进而得4c =，故由余弦定理得a =.【详解】解：（1）∵222b c bc a +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc+-==， ∵0A π<<，∴3A π=．（2）因为1sin 2S bc A === 所以20bc =，又5b =，故4c =，于是2222cos21a b c bc A =+-=，∴a =2sin sin 3a R A π===所以()25sin sin 72bcB C R ==． 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是基础题.本题第二问解题的关键在于利用正弦定理()2sin sin 2bcB C R =求解.19．在等差数列{}n a 中，23a =，56a =． （1）求n a ； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围．【答案】（1）1n a n =+；（2）1162n S ≤<． 【分析】（1）根据已知项，结合等差数列通项公式求1a ，d ，写出通项公式即可. （2）由题意得()()112n b n n =++，利用裂项求和法求数列{}n b 的前n 项和n S ，应用极限思想即可求n S 的取值范围．【详解】（1）在等差数列{}n a 中，23a =，56a =，∴依题意可知11346a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，1d =，故()2111n a n n =+-⨯=+． （2）∵11n n n b a a +=⋅，则()()1111212nb n n n n ==-++++．∴1111111123341222n S n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++， 显然n 增大，趋向无穷大，12n +变小，并且趋向0，而当1n =时取最小值16，∴1162n S ≤<． 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =EF 与平面ABC 所成的角． 【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴，又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =，13EH AA ==， tan 3tan 603HFE ∴∠︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题．21．已知直线l ：()120kx y k k R -++=∈．（1）已知点()1,5P ，若点P 到直线l 的距离为d ，求d 的最大值并求此时直线l 的方程；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求AOB 的面积的最小值并求此时直线l 的方程．【答案】（1）d 最大值5，此时l ：3420x y ++=；（2）面积最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=．【分析】（1）注意到直线l 必过点()2,1M -，故点()1,5P 到直线l 的距离为d 满足5d PM ≤=，当且仅当PM 垂直于直线l ，垂足为M 时，再根据等号成立解得34k =-，进而得此时直线l 方程.（2）根据题意得以12,0k A k +⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,12B k +，且0k >，进而得AOB 的面积11442S k k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）因为点()1,5P 到直线l 的距离为d ， 于是有225123411k kk d k k -++-==++，由直线l ：120kx y k -++=的表达式变形得：()12y k x -=+， 所以直线l 必过点()2,1M -， 根据点与直线间的关系可知()()2212515d PM ≤=++-=，于是当且仅当PM 垂直于直线l ，垂足为M 时， 点P 到直线l 的距离d 取最大值5，此时有23451k k -=+，解得34k =-，代入直线l 方程，得到l ：3420xy ++=． （2）依题意，直线l 在x 轴上的截距为12kk+-，在y 轴上的截距为12k +，且0k >，所以12,0k A k +⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,12B k +， 故()1112111244222k S OA OB k k k k +⎛⎫=⋅=⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭()14442≥⨯+=， 当且仅当14k k=，即12k =时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=．【点睛】本题考查直线的方程的求解，考查回归转化思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于发现直线l 必过点()2,1M -，进而得5d PM ≤=；第二问解题的关键是根据题意得12,0k A k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,12B k +，0k >，进而利用基本不等式求解即可.22．在三棱柱111ABC A B C -中，已知，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O ．（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长； （2）求：平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；55AE =．（2）3010．【解析】试题分析：（1）证明：作1OE AA ⊥于点E ，由11//AA BB ⇒1OE BB ⊥，又1A O ⊥平面ABC ⇒1A O BC ⊥，易得AO BC ⊥⇒BC ⊥平面1AA O ⇒BC OE ⊥⇒OE ⊥平面11BB C C ，由221AO AB BO =-=，15AA =⇒2155AO AE AA ==；（2）建立空间直角坐标系，求得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，平面11A B C 的法向量()2,1,1n =-⇒30cos ,·OEn OE n OE n〈〉==. 试题解析： （1）证明：连接AO ，在1AOA ∆中，作1OE AA ⊥于点E ，因为11//AA BB ，得1OE BB ⊥，因为1A O ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥，因为,AB AC OB OC ==，得AO BC ⊥，所以BC ⊥平面1AA O ，所以BC OE ⊥，所以OE ⊥平面11BB C C ，又2211,5AO AB BO AA =-==，得215AO AE AA ==．．．．．．．．．．．．．．5分（2）如图，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2A B C A -．由115AE AA =得点E 的坐标是42055⎛⎫⎪⎝⎭，，， 由（1）得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面11A B C 的法向理(),,n x y z =，由1·0{·0n AB n A C ==得20{0x y y z -+=+=，令1y =，得2,1x z ==-，即()2,1,1n =-，所以cos ,10·OEn OE n OE n〈〉==， 即平面11BB C C 与平面11A B C 的夹角的余弦值是10．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【解析】1、线面垂直；2、二面角的平面角.【方法点晴】本题考查线面垂直、二面角的平面角，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型. 第一小题作1OE AA ⊥于点E ，由11//AA BB ⇒1OE BB ⊥，再证BC ⊥平面1AA O ⇒BC OE⊥⇒OE ⊥平面11BB C C ，由1AO ==，1AA ⇒21AO AE AA ==．第二小题建立空间直角坐标系，求得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，平面11A B C 的法向量()2,1,1n =-⇒cos ,OE n 〈〉=30.。