2018-2019学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷一、填空题1.(3分)函数()f x =的定义域为 .2.(3分)函数()21()xf x x R =-∈的值域是 .3.(3分)函数2()(0)f x x x =≥,则1()f x -= .4.(3分)已知1≤a ≤2,3≤b ≤6,则3a ﹣2b 的取值范围为 .5.(3分)函数3()2f x x x =+,如果(1)()0f f a +>,则实数a 的范围是 .6.(3分)已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =,则a = .7.(3分)函数()12f x x x =++-,则此函数的最小值为 .8.(3分)直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为 . 9.(3分)已知函数()log a f x x =(a >0且a ≠1),若123()8f x x x =,则222123()()()f x f x f x += . 10.(3分)若命题“存在x ∈R ,使得220ax x a ++≤”为假命题,则实数a 的取值范围为 .11.(3分)(A 组题)已知2,1()1 1.1x x f x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩,若a <b <c ,满足()()()f a f b f c ++,则()a b f c ++的取值范围是 .12.(3分)(A 组题)已知函数1()2x f x e x -=+-,22()22g x x ax a a =-+-+,若存在实数1x ,2x ,使得12()()0f x g x ==,且121x x -≤,则实数a 的取值范围是 .13.(B 组题)已知2()22f x x x =-+,若a <b <c <d ,满足()()()()f a f b f c f d ===,则a +b +c +d 的值等于 .14.(B 组题)已知()lg f x x =,则实数(())y f f x =的零点0x 等于 . 二、选择题15.(3分)已知幂函数的图象经过点(9,3),则此函数是(( ) A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .非奇非偶函数16.(3分)对于实数a ,α:101a a ->+,β:关于x 的方程210x ax -+=有实数根,则α是β成立的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分也非必要条件17.(3分)已知函数()y f x =,记{}(,)|()A x y y f x ==,{}(,)|0,B x y x y R ==∈,则AB 的元素个数( )A .至多一个元素B .至少一个元素C .一个元素D .没有元素18.(3分)(A 组题)已知()(31)12f m m a m =-+-,当m ∈[0,1]时,()1f m ≤恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .0≤a ≤1B .0<a <1C .a ≤0或a ≥1D .a <0或a >119.(B 组题)函数()(32)1f x a x a =-+-,在[﹣2,3]上的最大值是(2)f -,则实数a 的取值范围是( ) A .23a ≥B .23a >C .23a ≤D .23a <三、解答题 20.已知{}2|2220,xx A x x R =--≤∈,{}|lg(1)0,B x x x R =-<∈,求A B ,A B .21.已知函数()1010x xf x -=-.(1)判断()f x 的奇偶性,并说明理由; (2)判断()f x 在R 上的单调性,并说明理由.22.矩形ABCD 的面积为4,如果矩形的周长不大于10,则称此矩形是“美观矩形”. (1)当矩形ABCD 是“美观矩形”时,求矩形周长的取值范围; (2)就矩形ABCD 的一边长x 的不同值,讨论矩形是否是“美观矩形”?23.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且x ≥0时有2()4f x x x =-.(1)写出函数()f x 的单调区间(不要证明); (2)(A 组题)解不等式()3f x ≥;(3)(A 组题)求函数()f x 在[﹣m ,m ]上的最大值和最小值. (2)(B 组题)求函数()f x 的解析式; (3)(B 组题)解不等式()3f x ≥.24.已知()f x 是定义在R 上且满足(2)()f x f x +=的函数. (1)如果0≤x <2时,有()f x x =,求(3)f 的值;(2)(A 组题)如果0≤x ≤2时,有2()(1)f x f x =-,若﹣2≤a ≤0,求()f a 的取值范围;(3)(A 组题)如果()()g x x f x =+在[0,2]上的值域为[5,8],求()g x 在[﹣2,4]的值域.(2)(B 组题)如果0≤x ≤2时,有2()(1)f x f x =-,若﹣2≤a ≤0且()0f a =,求a的值;(3)(B 组题)如果0≤x ≤2时,有2()(1)f x f x =-,若﹣2≤a ≤4,求()f a 的取值范围.2018-2019学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1.【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解. 【解答】解:由x ﹣2≥0,得x ≥2.∴函数()f x =的定义域为[2,+∞).故答案为:[2,+∞).【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题. 2.【分析】根据指数函数2xy =的值域减一可得.【解答】解:因为2x y =的值域为(0,+∞),∴21xy =-的值域为(﹣1,+∞)故答案为:(﹣1,+∞).【点评】本题考察了函数的值域,属基础题. 3.【分析】令2()y f x x ==,由x ≥0,得出y ≥0,并在2y x =中解出x ,即可得出函数()y f x =的反函数的表达式.【解答】解:令2()y f x x ==,由于x ≥0,则y ≥0,所以x =因此,1()0)f x x -=≥,0)x ≥.【点评】本题考查反函数解析式的求解,解决本题的关键在于灵活利用反函数的定义,属于基础题.4.【分析】法1,根据不等式的运算性质进行判断求解即可.法2利用线性规划的知识进行求解.【解答】解:方法一、∵1≤a ≤2,3≤b ≤6, ∴3≤3a ≤6,﹣12≤﹣2b ≤﹣6, 则﹣9≤3a ﹣2b ≤0,即3a ﹣2b 的取值范围为[﹣9,0] 方法2:设z =3a ﹣2b ,则322z b a =-, 作出不等式组对应的平面区域如图: 则平移直线322zb a =-,由图象知当直线经过点C (1,6)时, 直线的截距最大,此时z 最小, 最小z =3﹣2×6=3﹣12=﹣9,当直线经过点A (2,3)时,直线的截距最小,此时z 最大, 最小z =3×2﹣2×3=6﹣6=0, 即3a ﹣2b 的取值范围为[﹣9,0]. 故答案为:[﹣9,0]【点评】本题主要考查不等式性质的应用,根据不等式的关系是解决本题的关键.比较基础. 5.【分析】根据题意,分析可得()f x 为奇函数且在R 上为增函数,则原不等式可以转化为a >﹣1,即可得答案.【解答】解:根据题意,函数3()2f x x x =+, 有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=-+-=-+=-,则函数()f x 为奇函数,2()320f x x '=+>,则函数()f x 在R 上为增函数; 如果(1)()0f f a +>, 则()(1)(1)f a f f >-=-, 故a >﹣1, 故答案为:a >﹣1.【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,注意分析函数f (x )的奇偶性与单调性,属于基础题. 6.【分析】当a >0时,21log 2a =;当a ≤0时,122a=.由此能求出a 的值. 【解答】解:当a >0时,21log 2a =当a ≤0时,121log 22a -==, ∴a =﹣1.∴a =﹣1故答案为:﹣1【点评】本题考查孙数值的求法,解题时要认真审题,注意分段函数的函数值的求法. 7.【分析】根据x a -的几何意义,得到()12f x x x =++-的几何意义,再求出函数的最小值.【解答】解:∵x a -几何意义表示数轴上坐标为x 与坐标为a 的点的距离, ∴()12f x x x =++-表示轴上的点到点﹣1,2的距离和, ∴最小值为此两点线段上的点, 即当﹣1≤x ≤2时,()f x 最小值为3, 故答案为:3.【点评】本题考查了绝对值式子的几何意义的应用,属于基础题.8.【分析】设直角三角形的两直角边为a 、b ,斜边为c ,因为L a b c =++,c 两次运用均值不等式即可求解.【解答】解:直角三角形的两直角边为a 、b ,斜边为c ,面积为s ,周长L =2,由于a b L +=≥a =b 时取等号)≤∴21122S ab =≤221(22)[32L -===-故答案为:3-.【点评】利用均值不等式解决实际问题时,列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键. 9.【分析】表示出123()8f x x x =,再表示出122123()()()f x f x f x +,根据对数运算法则化简即可【解答】解:∵()log a f x x =且123()8f x x x = ∴123log ()8a x x x =又222222123123()()()log ()log ()log ()a a a f x f x f x x x x +=++1231231232[log ()log ()log ()]2[log ()]2log ()2816a a a a a x x x x x x x x x =++===⨯=故答案为:16【点评】本题考查对数运算,要求能熟练应用对数运算法则.属简单题10.【分析】命题“0x R ∃∈,使得220x x a ++≤”是假命题,则命题“x R ∀∈,使得220x x a ++>”是真命题,可得:△<0,解出a 的范围.【解答】解:命题“0x R ∃∈,使得220x x a ++≤”是假命题, 则命题“x R ∀∈,使得220x x a ++>”是真命题, ∴440a ∆=-<,解得a >1. 实数a 的取值范围是:(1,+∞). 故答案为:(1,+∞).【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.【分析】画出函数()f x 的图象,如图所示,结合图象,即可求出. 【解答】解:画出函数()f x 的图象,如图所示, 若a <b <c ,满足()()()f a f b f c ++, ∴0a b += ,1()2f c <<, ∴()a b f c ++的范围为(1,2), 故答案为:(1,2)【点评】本题考查了分段函数的图象和性质,考查了函数的值域,属于中档题. 12.【分析】求出1()10x f x e -'=+>,()f x 在R 上递增,由(1)0f =,得1x =1,从而2()0g x =且211x -≤,进而22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解,由此能求出a 的范围.【解答】解:函数1()2x f x e x -=+-的导数为1()10x f x e -'=+>,()f x 在R 上递增,由(1)0f =,可得1()0f x =,解得1x =1,存在实数1x ,2x ,使得12()()0f x g x ==.且121x x -≤, 即为2()0g x =且211x -≤,即22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解, 即22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解,∴2244(2)0a a a ∆=--+≥,解得a ≥2.故a 的范围为[2,+∞). 故答案为:[2,+∞).【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查导数、二次函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.13.【分析】根据题意,由函数的解析式分析可得()()f x f x -=,即函数()f x 为偶函数,进而分析可得直线y =m 与函数()f x 最多只有4个交点;据此分析可得a +d =b +c =0,进而分析可得答案.【解答】解:根据题意,2()22f x x x =-+,则2()22()f x x x f x -=-+=,即函数()f x 为偶函数,22222,0()2222,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=⎨++<⎪⎩,则直线y =m 与函数()f x 最多只有4个交点;若a <b <c <d ,满足()()()()f a f b f c f d ===,则有a +d =b +c =0, 故a +b +c +d =0; 故答案为:0【点评】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用,注意分析f (x )的奇偶性. 14.(B 组题)已知()lg f x x =,则实数(())y f f x =的零点0x 等于 10 .【分析】根据题意,由函数的解析式可得(())lg(lg )f f x x =,令00(())lg(lg )0f f x x ==,解可得0x 的值,由零点的定义即可得答案.【解答】解:根据题意,()lg f x x =,则(())lg(lg )f f x x =, 若00(())lg(lg )0f f x x ==,即lgx 0=1,解可得0x =10, 即函数(())y f f x =的零点0x 等于10; 故答案为:10.【点评】本题考查函数零点的计算,关键是掌握函数零点的定义,属于基础题. 二、选择题 15.【分析】由幂函数ay x = 的图象经过点(9,3),求出12a =,由此能求出此函数是12y x = ,是非奇非偶函数.【解答】解:∵幂函数y =x a 的图象经过点(9,3), ∴93a = , 解得12a =, ∴此函数是12y x =,是非奇非偶函数. 故选:D .【点评】本题考查命题真假的判断,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 16.【分析】求出α,β的等价条件,结合不等式的关系,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解:α:101a a ->+得a >1或a <﹣1, β:关于x 的方程210x ax -+=有实数根, 则判别式240a ∆=-≥,得a ≥2或a ≤﹣2, ∵{}{}|22|11a a a a a a ≥≤-><-或或Ö, ∴α是β成立的必要不充分条件, 故选:B .【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,求出命题的等价条件是解决本题的关键. 17.【分析】根据函数的定义,在定义域内有且只有一个函数值与它对应,()y f x =定义域是F ,当F 包括x =0,则x =0时候,有且只有一个函数值,所以函数图象与x =0只有一个交点,也就是两个集合的交集元素个数只有1个,则答案可求. 【解答】解:设函数()y f x =定义域是F , 当0F ∈,A B 中所含元素的个数为1.∴AB 中所含元素的个数是1.故选:A .【点评】本题考查交集及其运算,解答此题的关键是对题意的理解,是基础题. 18.【分析】利用一次函数的最值求解即可.【解答】解:()(31)12(32)1f m m a m a m a =-+-=--+ ①3a ﹣2=0,即23a =时,1()13f m =<,符合题意; ②3a ﹣2>0,即23a >时,max ()(1)21f m f a ==- ∵2a ﹣1≤1,∴a ≤1,∴213a <≤; ③3a ﹣2<0,即23a <时,max ()(0)1f m f a ==-+ ∵﹣a +1≤1,∴a ≥0,∴203a ≤<; 综上可知:实数a 的取值范围是[0,1]; 故选:A .【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解,分类讨论思想的应用,一次函数闭区间的最值以及单调性的应用.19.【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a 的范围【解答】解:函数()(32)1f x a x a =-+-,在[﹣2,3]上的最大值是(2)f -, 则函数f (x )在[﹣2,3]上为减函数, 则3a ﹣2<0,解得23a <, 故选:D .【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系,考查了转化与化归思想,属于基础题 三、解答题20.【分析】先分别求出集合A 和B ,由此能求出A B ,A B .【解答】解:{}{}2|2220,|1xx A x x R x x =--≤∈=≤,{}{}|lg(1)0,|2112B x x x R x x x =-<∈=-<<-<<或,∴{}|21AB x x =-<<-,{}|2A B x x =<.【点评】本题考查交集、并集的求法,考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 21.【分析】(1)容易求出()()f x f x -=-,从而判断出()f x 是奇函数;(2)可以看出函数10x y =和10xy -=-在R 上都是增函数,从而得出()f x 在R 上的单调性.【解答】解:(1)()1010(1010)()x x x xf x f x ---=---=-;∴()f x 为奇函数;(2)∵10x y =和10xy -=-x 在R 上都是增函数;∴()1010x xf x -=-在R 上是增函数.【点评】考查奇函数的定义及判断,指数函数的单调性,以及增函数的定义. 22.【分析】(1)根据基本不等式和定义即可得出周长的范围; (2)令周长不大于10,列不等式求出x 的范围,得出结论. 【解答】解:(1)设AB =x ,则4BC x=,故而矩形ABCD 的周长为442()2()228AB BC x x x x+=+≥=, 当且仅当4x x=即x =2时取等号. 又矩形ABCD 是“美观矩形”,故而矩形的周长不大于10.∴当矩形ABCD 是“美观矩形”时,矩形周长的取值范围是[8,10].(2)设矩形ABCD 的周长为f (x ),则4()2()(0)f x x x x==>, 令f (x )≤10得2540x x -+≤,解得:1≤x ≤4,∴当x ∈[1,4]时,矩形是“美观矩形”,当x ∈(0,1)∪(4,+∞)时,矩形不是“美观矩形”.【点评】本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.23.【分析】(1)根据题意,由函数的解析式结合函数的奇偶性可得()f x 的单调区间;(2)(A 组题),根据题意,由函数的奇偶性可得函数()f x 的解析式,则有243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩,解可得不等式的解集,即可得答案;(3)(A 组题)由函数的解析式可得在区间(﹣∞,﹣2)上为增函数,在(﹣2,2)上为减函数,在(2,+∞)为增函数;对m 的值进行分情况讨论,求出函数的最值,即可得答案;(2)(B 组题)设x <0,则﹣x >0,由函数的解析式可得()f x -的表达式,由函数的奇偶性可得()f x 在x <0时的解析式,综合即可得答案;(3)(B 组题)根据题意,由函数的奇偶性可得函数()f x 的解析式,则有243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩,解可得不等式的解集,即可得答案. 【解答】解:(1)根据题意,()f x 是定义在R 上的奇函数,且x ≥0时有2()4f x x x =-;则()f x 的单调递增区间为(﹣∞,﹣2]或[2,+∞),递减区间为[﹣2,2];(2)(A 组题)()f x 是定义在R 上的奇函数,且x ≥0时有2()4f x x x =-,设x <0,则﹣x >0,则22()()4()4f x x x x x -=---=+,则2()()4f x f x x x =--=--,综合可得:224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩, 若243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩,解可得:﹣3≤x ≤﹣1或2x ≥则不等式()3f x ≥的解集为[﹣3,﹣1]∪[2x ≥+(3)(A 组题)由(2)的结论,224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩,在区间(﹣∞,﹣2)上为增函数,在(﹣2,2)上为减函数,在(2,+∞)为增函数;对于区间[﹣m ,m ],必有m >﹣m ,解可得m >0;故当0<m ≤2时,2max ()4f x m m =-+,2min ()4f x m m =-,当2<m ≤4时,max ()4f x =,min ()4f x =-,当m >4时,2max ()4f x m m =-,2min ()4f x m m =-+,(2)(B 组题)()f x 是定义在R 上的奇函数,且x ≥0时有2()4f x x x =-,设x <0,则﹣x >0,则22()()4()4f x x x x x -=---=+,则2()()4f x f x x x =--=--,综合可得:224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩, (3)(B 组题)由(2)的结论,224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩, 若243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩,解可得:﹣3≤x ≤﹣1或x ≥2则不等式()3f x ≥的解集为[﹣3,﹣1]∪[2【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及分段函数的性质以及应用,属于基础题. 24.【分析】根据(2)()f x f x +=的函数.可知函数()f x 是周期2的函数;依次求解各式即可.【解答】解:(1)(3)(12)(1)1f f f =+==;(2)(A 组题)若﹣2≤a ≤0,则0≤a +2≤2,∴22()(2)(21)(1)[0,1]f a f a a a =+=+-=+∈;(3)(A 组题)因为()()g x x f x =+在[0,2]上的值域为[5,8],所以()f x 在[0,2]上的值域为[3,6],所以()g x 在[﹣2,4]上的值域为[1,10];(2)(B 组题)根据(2)(A 组题)可得2()(1)0f a f a =+=,可得a =﹣1;(3)(B 组题)由题意,当0≤a ≤2时,2()(1)0[0,1]f a f a =-=∈;当﹣2≤a ≤0时,则0≤a +2≤2,可得2()(1)0[0,1]f a f a =+=∈,当2≤a ≤4时,则0≤a ﹣2≤2,可得2()(3)[0,1]f a f a =-∈,故得当﹣2≤a ≤4,()f a 的取值范围是[0,1].【点评】本题考查抽象函数的问题,值域的求法,体现了分类讨论的数学思想方法,解答此题的关键是理解题意,是中档题.。