第六章 弯曲变形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第六章 弯 曲 变 形
§6.1 概 述
一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中,对某些受弯构件,除要求具有足够的
强度外, 还要求变形不能过大, 即要求构件有足够的刚度, 以保证结构或机器正常工作。
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
摇臂钻床的摇臂或车床 的主轴变形过大,就会影响 零件的加工精度,甚至会出 现废品。
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
桥式起重机的横梁变形 过大, 则会使小车行走困难, 出现爬坡现象。
Fx 2EI
(x
2l)
w
F x2 6EI
(x
3l)
最大转角和最大挠度分别为:
max
B
Fl2 2EI
wmax
wB
Fl3 3EI
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:已知梁的抗弯刚度为E I。试求图示简支梁在集中力 F 作用下的转角方程、挠曲线方程,并确定max和wmax 。
第六章 弯 曲 变 形
2
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示悬臂梁在集中 力F 作用下的转角方程、挠曲线方程,并确定max和 wmax。
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
解:
B
qa 2 2
2a
3EI
qa (2a)2 16EI
qa3 12EI
D
B
qa3 6EI
qa3 4EI
wD
B
a
qa 4 8EI
5qa 4 24EI
第六章 弯 曲 变 形
+
||
||
+
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:求图示变截面梁的最大挠度和最大转角。
第六章 弯 曲 变 形
6
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:求图示梁 D 端 的转角和挠度。
例:欲使 AD梁C点挠度 为零, 求 F与q的关系。 解:
+
wC
5q(2a)4 384EI
Fa(2a)2 16EI
0
F
5 6
qa
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:若图示梁 B 端的转 角B 0 , 则力偶矩 M e等于 多少?
例:已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示简支梁的转角 方程、挠曲线方程,并确定max 和 wmax 。
解:由对称性,只考虑半跨梁 ACD
M1(x1) qax1
M
2
(x2
)
qax2
q 2
( x2
a)2
第六章 弯 曲 变 形
(0 x1 a) (a x2 2a)
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:求图示梁 C点的挠度 wC 。
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:求图示变截面梁 B、C 截面的挠度 wB、wC。
解:
wB
Fa3 3(2EI )
2
q 6EI
[3ax22
( x2
a)3
11a 3
w1
qa 6EI
(11a2 x1
x13
)
w2
q 24EI
[4ax23
( x2
a)4
44a3x2 ]
0 x1 a a x2 2a 0 x1 a a x2 2a
最大转角和最大挠度分别为:
max
A
1
x1 0
11qa 3 6EI
wmax
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
梁的挠曲线近似微分方程: 或
EIw M (x)
EI
d2w dx2
M
(x)
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
二、用积分法求梁的变形 EIw M (x)
Fl3
Ⅰ
3EI
Ⅱ
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:简支梁在整个梁上受均布载荷q 作用,若其跨度 增加一倍,则其最大挠度增加多少倍?
wmax
5ql 4 384 E I
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例如, 车辆上的板弹簧, 要求有足够大的变形,以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
但在另外一些情况下, 有时却要求构件具有较大的弹性 变形,以满足特定的工作需要。
第六章 弯 曲 变 形
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
解:AC段
M (x)
F 2
x
EIw
F 2
x
EIw
F 4
x2
C
EIw
F 12
x3
Cx
D
由边界条件 x 0 时 w 0
由对称条件
x
l 2
时
w 0
第六章 弯 曲 变 形
得 D0
得
C
Fl2 16
解:
wB
q(2a)4 8EI
qa(2a)3 3EI
14qa 4 3EI
wD
wB 2
2qa(2a)3 48EI
8qa 4 3EI
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解: M (x) F (l x)
EIw F x Fl
EIw
F 2
x2
Flx C
EIw
F 6
x3
Fl 2
x2
Cx
D
由边界条件 x 0 时,w 0 ,w 0
得 CD0
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
解:
M ( x)
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 4
x2
q 6
x3
C
EIw
ql 12
x3
q 24
x4
Cx
D
由边界条件 x 0 时,w 0
x l 时, w 0
得
C
ql 3 24
二、弯曲变形的基本概念 1. 挠曲线 —— 梁的轴线变弯后的曲线
挠曲线
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
2. 挠度和转角
规定:向上的挠度为正;逆时针的转角为正
挠曲线方程: w f (x)
转角方程:
tan
dw dx
第六章 弯 曲 变 形
,
D0
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
q 24 EI
(6lx 2
4x3
l3)
w
qx 24EI
(2lx2
x3
l3)
最大转角和最大挠度分别为:
max
A
B
ql 3 24 EI
wmax
w
x
l 2
5ql 4 384EI
Fa a2 2(2EI )
5Fa3 12EI
B
Fa 2 2(2EI )
Fa a 2EI
3Fa 2 4EI
wC
wB
B
a
Fa3 3EI
3Fa3 2EI
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例:求图示 梁 B、D 两点的 挠度wB 、wD 。
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
AC 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
F 16EI
(4x2
l2)
w
Fx 48EI
(4x2
3l2)
最大转角和最大挠度分别为: