FCy l 3 11Fl 3 , vCFcy vCF y 96 EI 6 EI 11 FCy F 16
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解法二：
相当于将原来的超静定梁分解成两个简支梁 变形几何关系: C＝ C
MC l MC l Fl 2 C , C 3 EI 3 EI 16 EI
q lx 2 x 3 C1 EIv 2 2 3
q lx3 x 4 EIv C1 x C2 2 6 12
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3．确定积分常数 边界条件： x＝0时，v＝0 x＝l时，v＝0 4．列出转角方程和挠度方程 q l 3 6lx 2 4 x3 24 EI ql 3 C1 ，C 2 0 24
vB 0
vB vBF vBFBy 0
4)列平衡方程，求其余反力
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静定基的选取不是唯一的 变形协调条件：
A＝0
即：
A＝AF＋AMA＝0
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例8：已知梁的抗弯刚度为EI，试解此超静定梁。
q
B A l
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解法一：
q
A
B
FBy
变形协调条件：
§6.4 用叠加法求梁变形
1．叠加法 在若干个载荷共同作用下，梁任意横截面上的变形， 等于各载荷单独作用时引起的变形的代数和. 2．适用条件 在线弹性、小变形情况下，梁的挠度与转角为梁上 载荷的线性齐次式. 教材P172-175 表6 6-3 3 简单载荷下梁的转角和挠度
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例4：图示梁 EI 已知，试求vB和θB
q3 ql 48 EI

ql 3 48 EI
vC 2 0
C
q / 2 l / 2 A2 B 2 24 EI
3
ql l3 384 EI

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§6.5 梁的刚度校核
一、弯曲刚度条件
max [ ], ]
（1）刚度校核 （2）设计截面 （3）计算许用载荷
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讨论：梁挠曲线的大致形状
M ( x) v EI

由M 的正负确定挠曲线的凹凸性 弯矩图中M为零的点为挠曲线的拐点 若弯矩图中有一段M=0 0，则此段挠曲线为直线 由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状
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A B
C
D
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M max 1 2 1 ql Fl 40kN m 8 4
M max 40 103 10 3 Wz 250 103 (mm ) 3 [ ] 160
查型钢表，18a号槽钢，Wz＝282.8×103mm3， Iz＝2545.4×104mm4
5ql 4 Fl 3 5ql 4 8Fl 3 vmax 384 EI 48 EI 384 EI 5 10 (4 10 3 )4 8 20 10 3 (4 10 3 ) 3 11.78(mm ) [v ] 3 4 384 200 10 2545.4 10
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vmax [v ]
二、刚度条件可进行三方面计算
例7：一跨度l＝4m的简支梁如图示，同时承受均布载荷q＝ 10kN/m和集中载荷F＝20kN。梁由两槽钢组成。已知许用应 力[]＝160MPa，许用挠度[v]＝0.003l，E＝200GPa。试选定 槽钢型号。 解：梁的最大弯矩发生在中点C
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B
挠曲线是光滑连续唯一的
例1：试分析图示被切削工件由于弯曲变形而引起的加 工误差。 解:
1．列出弯矩方程、微分方程 M(x)＝F(l－x)
Hale Waihona Puke EI v Fl Fx2．积分
EIv Flx
EIv
F 2 x C 2
Fl 2 F 3 x x Cx D 2 6
Fb 3 F x 2 ( x 2 a ) 3 C 2 x 2 D2 EIv 2 6l 6
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3．确定积分常数 边界条件： 在x1＝0处，v1＝0 在x2＝l处， v2＝0 连续条件： 在x1＝x2＝a 处， v1＝ v2 和 v 1＝ v 2 代入（1）、（2）、（3）、（4）联立求解，可得
C1 C 2 Fb 2 2 ( b l ), D1 D2 0 6l
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4．列出转角方程和挠度方程
EIv1 Fb 2 b2 l 2 3 x1 6l


EIv 1
EIv 2
Fb 3 x1 b 2 l 2 x1 6l




Fb 2 F Fb 2 2 2 b l x2 x2 a 2l 2 6l
②b
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例6：试按叠加原理如图所示等直梁的跨中截面挠 度 vc 和两支座截面的转角θA 及θ B。
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5 q / 2 l 4 5ql 4 vC1 384 EI 768 EI
C
q / 2 l 3 A1 24 EI q / 2 l 3 B1 24 EI
EI 2 EIv
Fb 3 F Fb 2 2 3 x2 x2 a b l x2 6l 6 6l


5．最大转角
Fb( l 2 b 2 ) Fab( l b) A , 6 EIl 6 EIl
B
Fab( l a ) 6 EIl
当a>b时， max B
第六章
弯曲变形
第六章 弯曲变形
§6.1 概述
1）工程实际中，除了强度要求外，还有刚度要求。
装有齿轮的传动轴
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车床切削加工
2）有时弯曲变形是有益的，在工程中可以利用弯曲变形。
减振板弹簧
原子力显微镜探针
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§6.2 梁的挠曲线的近似微分方程
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一、梁弯曲变形的度量——挠度和转角
Fb ( 3 l 2 4b 2 ) 48 EI
vl / 2
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当F力靠近B支座时, x1≈0.577l。在这种极端情况下，最大 挠度所在位置仍在梁中点附近，所以用中点挠度代替最大 挠度，引起的误差不超过3%。
A
B
简支梁上不管承受何种载荷，只要其挠曲线朝一个方向弯 曲，即无拐点时，就可用中点挠度来代替最大挠度。
M1
Fb x1 EIv1 l
CB段(a≤x2≤l )
M2 Fb x2 F ( x2 a ) l
EIv 2＝ Fb x2 F ( x2 a ) l
Fb x1 l
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2．积分 AC段(0≤x1≤a)：
EIv1
EIv1 Fb x1 l
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三、提高刚度的措施
1.减少梁跨长 2．超静定梁 增加约束后静定梁变为超静定梁
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3．增大惯矩 改变截面形状，在截面积基本不变下增大惯性矩 4 ． 预加反弯度
5．合理选择材料 采用弹性模量高的材料
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6．合理安排载荷施加方式和支座位置
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§6.6 简单超静定梁
( )
vmax
Fl 3 3 EI
(↑)
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例2：简支梁受均布载荷q，试求此梁的转角方程和 挠度方程，并确定其最大转角和最大挠度。 解: 1．弯矩方程、微分方程
q ql 1 2 M x x qx 2 2
2．积分
q A l B
q EIv M x lx x2 2
q 3 3 4 v l x 2 lx x 24 EI
5. 最大转角与最大挠度
max
ql 3 B A 24 EI
vmax
5ql 4 v(l 2) 384 EI
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例3：图示一简支梁，在C点承受集中载荷F。试求此梁的转角 方程和挠度方程，并确定其最大转角和最大挠度。 解： 1．弯矩方程和微分方程 AC段(0≤x1≤a) )
1．梁的挠曲线(弹性曲线) 轴线变形后所形成的光滑连续的曲线 2．梁变形的度量 符号： ， 梁横截面绕中性轴转动的角度， 1)转角： 正负：逆时针转动为正，反之为负； 2)挠度： 梁横截面形心的竖向位移，符号：v 正负：向上为正，反之为负。
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v
m'θ m c' '
F
t'
θ
v
t
o x l
M ( x) v dxdx Cx D EI
式中C、D为积分常数，由已知的位移边界条件与连续 条件确定。
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二、位移边界条件与连续条件
1) 位移边界条件 固定铰与可动铰 固定端
v0
2)连续条件：
F A C
v 0 v' 0
v|C v|C θ|C θ|C
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3．确定积分常数 边界条件： x＝0时，v＝0 x＝0时，v＝0 4．列出转角方程和挠度方程
F v EI 1 2 lx x 2
F 2 x3 v lx 2 EI 3
C＝0，D＝0
5. 最大转角与最大挠度
max
Fl 2 2 EI
小变形，(v)2<<1,可略去
( x ) v
M ( x) v" EI
3．挠曲线近似微分方程：
M ( x) v EI