第六章弯曲变形一、是非判断题1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。

（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。

（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。

（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。

（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。

（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。

（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。

（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。

（×）二、选择题1. 梁的挠度是（D）A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移B 横截面形心沿梁轴方向的位移C横截面形心沿梁轴方向的线位移D 横截面形心的位移2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。

A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。

A 梁的变形属于小变形B 材料服从胡克定律C 挠曲线在xoy平面内D 同时满足A、B、C4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。

A 挠度最大B 转角最大C 剪力最大D 弯矩最大5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。

跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。

A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。

为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B）A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/47. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：y(x)=Ax²(4lx - 6l²-x²)，则该段梁上（B）A 无分布载荷作用B 有均布载荷作用C 分布载荷是x 的一次函数D 分布载荷是x 的二次函数 8. 图1所示结构的变形谐条件为：（D ） A f A=f BB f A+△l=fBCfA +fB =△l DfA-fB=△l三、填空题1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时， 若积分需分成两段，则会出现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连续 条件来确定。

2. 用积分法求图2所示梁变形法时，边界条件为：0,0,0===D A A Y Y θ；连续条件为：()()()()()()322121,,C C B B A A Y Y Y Y ===θθ 。

3. 如图3所示的外伸梁，已知B 截面转角B =EIFl 162，则C 截面的挠度y C =EIFl 323。

4. 如图4所示两梁的横截面大小形状均相同，跨度为l , 则两梁的内力图 相同 ，两梁的变形 不同 。

（填“相同”或“不同”）5. 提高梁的刚度措施有 提高z W 、 降低MAX M 等。

四、计算题1 用积分法求图5所示梁A 截面的挠度和B 截面的转角。

解 ① 对于OA 段： 弯矩方程为 M(x)=-21Pl-Px即 EIy ’’=-21Pl-PxEIy ’=-21Plx-21P x 2+C 1EIy=-41Plx 2-61P 3x +C 1x+C 2边界条件 x=0 y ’=0 x=0 y=0 由此边界条件可解得 C 1=C2=0将C 1=C 2=0 及 x=21l 分别代入挠度及转角方程得A 截面转角为 θA=EIPl 832- 挠度为 y A =EIPl 123-② 对于AB 段 弯矩M= EIy ’’=Pl则 EIy ’=EI θ =Plx+C 3（设x=0处为A 截面）边界条件 x=0 θ=θA =EIPl 832-得C 3=83-P 2l 将C 3=83-P 2l 及 x=21l 代入转角方程即得 B 截面转角为θB =EIPl 82综上所述：A 截面挠度为 y A =EIPl 123-B 截面转角为 θB=EIPl 82 2 简支梁受三角形分布载荷作用，如图6所示梁。

（1）试导出该梁的挠曲线方程； （2）确定该梁的最大挠度。

解 设梁上某截面到A 截面距离为x 。

首先求支反力，则有F A =l1（21ql*31l ）=61ql (↑)M(x)=-(3616x lq x ql -)EIy ’’=M(x)=3616x lq x ql +-EIy ’=C x l q x ql ++-422412EIy=D Cx x lq x ql +++-5312036边界条件为 x=0 y=0 x=l y=0得 D=0 C =36072ql则可得挠曲线方程为EI y=)7310(3604422l x x l qx++- 求 W m ax 令EI 036072412342=++-=ql x l q x ql θ 即 015724422=++-l x x l 得 x=0.519l所以 W m ax =0.00652EIql 43 用叠加法求如图7所示各梁截面A 的挠度和转角。

EI 为已知常数。

解 A 截面的挠度为P 单独作用与0M 单独作用所产生的挠度之和。

查表得： EIPl y AP243= y AM 0=EI Pl EI l M 88320-=-则 y =A y y AM AP 0+=EIPl 123-同理，A 截面的转角为P 单独作用与0M 单独作用所产生的转角之和。

查表得 EIPl AP82=θ 对于0AM θ 可求得该转角满足方程 EI θ=-Plx+C 边界条件 x=0 0=θ 可得 C=0将 C=0和x=2l代入可得 0AM θ=EI Pl 22-则0AM APA θθθ+==EIPl 832-解 可分为如下三步叠加：分别查表计算得： EI qa 621-=θ EIqa y 841-=EI qa EI Ml 3322-=-=θ EI qa a y 3322-==θ EI qa EI Fl 416323==θ EIqa a y 4433==θ 则： EIqa 43321-=++=θθθθPLEIqa y y y y 2454321-=++=解：可分解为如下两图相减后的效果查表得 EIqa EI a q 296)3(331-=-=θ 显然EIqa EI a q y 8818)3(441-=-=EIqa a EI qa y 241184242-=+-=θ则 EIqa 313321-=-=θθθEIqa y y y 324421-=-=4 图8所示桥式起重机的最大载荷为P=20KN,起重机大梁为32a 工字钢，E=210Gpa ，l=8.76cm 。

规定[f]=l/500。

校核大梁的刚度。

解：查表得I=11100(4cm) ……………………..(课本408页)查表得EIplf483max=，代入数值有………（课本190页）[]50073010*11100*10*210*480876.0*10*204889233maxlfllEIplf=≤===-可见符合刚度要求5 图9所示结构中梁为16号工字钢，其右端用钢丝吊起。

钢拉杆截面为圆形，查表得EIlFEIqlw BB3834+-=,而=∆lEAlFBCB由连续性条件得=Bw l∆，即EIlFEIqlB3834+-=EAlFBCB实用文档.得到 KN A l I l I ql F BC AB AB B 1501.0415101130341011308410103828384334=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=--π所以杆中 Mpa A F B 57401.041101523max =⨯⨯⨯==πσ 由力的平衡得 ql F F B A =+ 得到 A F =25KN对梁有所以 梁中Mpa w M I y M z A Z A 8.14110141102063max =⨯⨯===-σ感谢土木0905班李炎、0906班张放、李朝沛同学！。