2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1§3.1导数的概念及运算1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率Δy Δx＝f(x1)－f(x0)x1－x0＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式5．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × )(2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )(5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( × )(6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2.( × )2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3答案 B解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直， ∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.4． 如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 答案 [34π，π)解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2.∵e x >0，∴e x ＋1ex ≥2，∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)． 又α∈[0，π)，∴α∈[3π4，π)．题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点． 思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx. (1)函数y ＝x ＋1x在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx ＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx ) 0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx ).∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. (2)lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝2×lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)． 题型二 导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；求下列函数的导数．(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .题型三 导数的几何意义例3已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．(1)曲线y＝x＋sin x在点(0,0)处的切线方程是________．答案2x－y＝0解析∵y＝x＋sin x，∴y′＝1＋cos x，当x＝0时，y′＝1＋cos 0＝2，故曲线y＝x＋sin x在点(0,0)处的切线方程是y－0＝2(x－0)，2x－y＝0.(2)已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a 的值是( )A ．－3B ．3C ．6D ．9答案 D解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上，即y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， 又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，②联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1①↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0②↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分]对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分]设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分]∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1． f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2． 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范1． 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2． 求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3． 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 2答案 B解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3． 已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4,5]C ．[4，133]D ．(－∞，4)答案 B解析 f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4,5]，又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4,5]．4． 曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.12答案 B解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3， 所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝3(x －1)，结合图像易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.5． 已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 015(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 二、填空题6． 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导， 得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)． 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7． 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________________． 答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.8． 若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x ≥2. 三、解答题9． 求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；(3)y ＝sin x xn ；解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)．(2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′ ＝－x －2－4x －3－3x －4 ＝－1x 2－4x 3－3x4.(3)y ′＝(sin xx n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n＝x n cos x －nx n －1sin xx 2n＝x cos x －n sin xxn ＋1. 10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103， 显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.2． 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是( )答案 A 解析∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24＋c ， 由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b2>0，∴b <0.又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.3． (2013·广州调研)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )， 解之得，t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278.4． 设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5． 设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为(92，－4)．。