§5.4复数1．复数的有关概念(1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i 答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75iB ．－15＋75iC ．－125－725iD ．－125＋725i答案 D解析 由题意可得z ＝1－i3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i ，故选D.题组三 易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．(2020·昆明一中第二次双基检测)设z ＝1－ii ，则z 的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 A解析 ∵z ＝1－ii ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ， ∴z 的虚部为1.复数的有关概念1．设复数z ＝(3＋2i)(2－5i)，则复数z 的虚部为( ) A ．－16 B ．－11 C ．－11i D ．16i 答案 B解析 依题意，z ＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i ＋4i ＋10＝16－11i ，故复数z 的虚部为－11.故选B. 2．已知a ，b ∈R ，(a －i)i ＝b －2i ，则a ＋b i 的共轭复数为( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i答案 A解析 由(a －i)i ＝1＋a i ＝b －2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝b ，a ＝－2，∴a ＋b i ＝－2＋i ，其共轭复数为－2－i ，故选A.3．(2020·四川乐山模拟)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 由题知(1－i)(a ＋i)＝(a ＋1)＋(1－a )i 为纯虚数．故a ＋1＝0且1－a ≠0， ∴a ＝－1 .故选D. 4．(2019·全国Ⅰ)设z ＝3－i1＋2i，则|z |等于( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 答案 C解析 ∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i 5＝15－75i∴|z |＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫－752＝ 2.思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．复数的运算命题点1 复数的乘法运算例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i －i －i 2＝3＋i. (2)i(2＋3i)等于( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．－3－2i D ．－3＋2i答案 D解析 i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. 命题点2 复数的除法运算例2 (1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i 等于( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案 D解析 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i. 故选D.(2)(2019·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z 等于( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i答案 D解析 z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i 2＝1＋i.命题点3 复数的综合运算例3 (1)已知z (1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|z |等于( ) A. 2 B ．3＋4i C ．5 D ．7 答案 C解析 z ＝－1＋7i 1＋i＝(－1＋7i )(1－i )2＝3＋4i ，故z ＝3－4i ⇒|z |＝5，故选C.(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③⎪⎪⎪⎪αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ， ①αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，故②正确； ③⎪⎪⎪⎪αβ＝||－i ＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，故④正确．故选C. 思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1 (1)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a 为( ) A ．1或－1 B ．1C ．－1D ．不存在的实数答案 A解析 由题意得z ＝3－a i ， 故z ·z ＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1，故选A.(2)(2020·四川联合诊断)若(1－i)(z ＋i)＝2i 2 000，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 答案 D解析 由(1－i)(z ＋i)＝2i 2 000⇒ z ＋i ＝2i 2 0001－i ⇒z ＝2i 2 0001－i －i ＝21－i－i ＝1.复数的几何意义例4 (1)已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝2－i ，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 因为z ＝2－i 1＋i＝(2－i )(1－i )2＝1－3i 2＝12－32i ， 所以复平面上复数z 对应的点为⎝⎛⎭⎫12，－32，位于第四象限，故选D. (2)若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________． 答案 2π解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2，得|x ＋(y －1)i|≤2， 所以x 2＋(y －1)2≤2， 所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.思维升华 复数与复平面内的点、向量是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练2 (1)已知a 1－i＝－1＋b i ，其中a ，b 是实数，则复数a －b i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由a 1－i ＝－1＋b i ， 得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限，故选B.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．答案 5解析 由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5.如图的复平面中，r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝b r ，tan θ＝b a(a ≠0)．任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式．我们把r (cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．对应于复数的三角形式，把z ＝a ＋b i 叫做复数的代数形式．例1 将复数3＋i 表示成三角形式．解 因为a ＝3，b ＝1，所以r ＝(3)2＋1＝2，θ＝π6， 即3＋i ＝2⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6. 例2 将复数2⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3表示成代数形式． 解 2⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3 ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.例3 复数z ＝－2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4是不是复数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形式． 解 不是复数的三角形式．z ＝－2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4 ＝2⎝⎛⎭⎫－cos π4－isin π4＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋isin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝2⎝⎛⎭⎫cos 5π4＋isin 5π4.1．(2019·葫芦岛模拟)设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为() A ．1 B ．2 2 C. 3 D. 5答案 D解析 依题意，|z |＝12＋22＝5，故选D.2．(2020·广西南宁摸底)(1－i )(－2＋i )i 3等于( )A ．3＋iB ．－3－iC ．－3＋iD ．3－i答案 B解析 (1－i )(－2＋i )i 3＝－1＋3i －i＝(－1＋3i )·i －i·i＝－3－i. 3．(2020·贵州遵义第一次统考)在复平面内，复数z 满足z (1－i)＝4，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 由z (1－i)＝4，得z ＝41－i ＝2＋2i ， 所以z 在复平面内对应的点为(2,2)，所以对应的点在第一象限．4．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)复平面内表示复数z ＝6＋2i 2－i的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 ∵z ＝6＋2i 2－i ＝(6＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝10＋10i 5＝2＋2i ， ∴z 在复平面对应的点(2,2)在第一象限．故选A.5．若复数z ＝m 2＋m ＋(m ＋1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z等于( ) A ．i B ．－i C ．2i D ．－2i答案 B解析 复数z ＝m (m ＋1)＋(m ＋1)i 是纯虚数，故m (m ＋1)＝0且(m ＋1)≠0，解得m ＝0，故z ＝i ，故1z ＝1i ＝1·i i·i＝－i.故选B. 6．(2020·四川双流中学月考)已知复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 为虚数单位，若z ＝(z 2－z 1)i ，则z 的共轭复数z 的虚部是( )A ．－2iB ．－2C ．2iD ．2答案 B解析 ∵z ＝(z 2－z 1)i ＝(6＋9i －4－29i)i＝(2－20i)i ＝20＋2i ，∴z ＝20－2i ，故z 的虚部是－2.7．(2019·江苏)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________． 答案 2解析 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，∵实部是0，∴a －2＝0，a ＝2.8．若复数z ＝1－i ，则z ＋1z的虚部是________． 答案 －12解析 z ＋1z ＝1－i ＋11－i＝1－i ＋1＋i 2＝32－12i ，故虚部为－12. 9．已知复数z ＝3－2i 1－i，i 为虚数单位，则|z |2＝________. 答案 132解析 ∵z ＝3－2i 1－i ＝(3－2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝5＋i 2， ∴|z |2＝254＋14＝132. 10．已知z 1＝1＋i ，z 2＝1－i(i 是虚数单位)，则 z 1z 2＋z 2z 1＝________. 答案 0解析 z 1z 2＋z 2z 1＝1＋i 1－i ＋1－i 1＋i ＝2i 2＋－2i 2＝0. 11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则|z 1－z 2|＝________.答案 2 2解析 由图象可知z 1＝i ，z 2＝2－i ，故|z 1－z 2|＝|－2＋2i|＝(－2)2＋22＝2 2.12．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0， 所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2， 即m ∈(－∞，－2)．13．若复数z ＝a ＋i 1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意得z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2， 因为z 在复平面内对应的点在第一象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，1－a >0，所以－1<a <1.故选C. 14．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i 3＋i∈R ，则复数z ＝________. 答案 3 解析 ∵复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝()a ＋3i ()3－i ()3＋i ()3－i＝3()1＋a ＋(3－a )i 4＝3()1＋a 4＋3－a 4i ∈R ， ∴3－a 4＝0，即a ＝3. 则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.15．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案 ④解析 由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则a ＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．16．已知复数z 满足：z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 021＋a ＝2，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝c ＋d i(c <0，d <0)，则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝1(舍去)． ∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ，∴1＋z1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋z 1＋z 2 021＝i 2 021＝i 2 020＋1＝i 505×4＋1＝i ， ∴|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3.。