解： a 2, b 5, c 7 解： a 2, b 3, c 1
=b2 4ac=52 4 2 7
=81>0
b5 x1 x2 a = 2
x1x2

c a


7 2
2
=b2
x1
x24ac==ba5>30
43 2
2
1
∴x原1x2方 程ac 无12实数根
3、 4x2 8x 3 0
2x 12x 3 0
x1
=
1 2
，x2
=
3 2
a 4, b 8, c 3
x1 x2 2
=b a
3 x1x2 4
=c a
4、 6y2 y 15 0
2y 33y 5 0
y1
=

3 2
，y2
=
5 3
5 x1 x2 2
=b a
x1 x2

3 2
=c a
2、 2x2 x 6 0
x 22x 3 0
x1
=

2，x2
=
3 2
a 2, b 1, c 6
1 x1 x2 2
=b a
x1x2
3
=c a
6、用十字相乘法解一元二次方程：
b x1 x2 a = 5
x1x2

c a

6
=b2 4ac=32 4 2 5
=49>0
x1

x2


b a


3 2
x1x2

c a


5 2
8、不解方程，写出方程两个根的：
3、 2x2 5x 7 0
4、 2x2 3x 1 0
△>0,方程有 两个不相等的 实数根：
2、 2x2 2 2x+1 0
解： a 2,b 2 2,c 1
且=b2 4ac
2
2
2 4 21 0
b b2 4ac 2 2 0
x=

2a
4
2 2
即：x1 x2
2 2
△=0,方程有 两个相等的实 数根：
x 2x 3 0
x1=2，x2 = 3
4、 m2 5m 6 0
m 1m 6 0
m1= 1，m2 =6
6、用十字相乘法解一元二次方程：
1、 2x2 5x 3 0
x 12x 3 0
x1
=

1，x2
=

3 2
a 2, b 5, c 3
a 6, b 1, c 15
x1

x2

1 6
=b a
5 x1x2 2
=c a
7、一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程：ax2 +bx+c 0a 0的
求根公式：x b b2 4ac 2a
x1= b
b2 4ac ,
2a
b x2 =
21.2 21.1根与系数的关系
昆十八中 钟伟林
学习目标:
1、会用根的判别式来判断一元二次 方程根的情况。
2、探索一元二次方程的根与系数的 关系。
3、会用根与系数的关系解决简单问题。
1、求根公式：
一元二次方程：ax2 +bx+c 0a 0的
求根公式：x b b2 4ac 2a
其中： b2 4ac称为根的判别式
2、解一元二次方程：
1、 x2 4x 7 0
解： a 1,b 4, c 7
且=b2 4ac 42 417 44
x= b b2 4ac 4 44
2a
2
2 11
即：x1 2 11，x2 2+ 11
b2 4ac 2a
有：x1
+x2
=

b a

c x1x2 = a
8、不解方程，写出方程两个根的和与积：
1、 x2 5x 6 0
2、 2x2 3x 5 0
解： a 1, b 5, c 6 解： a 2, b 3, c 5
=b2 4ac=52 41 6 =1>0
4、 m 22 +3 0
∴方程没有实数根
∴方程没有实数根
5、用十字相乘法解一元二次方程：
1、 x2 5x 6 0
x 2x 3 0
x1= 2，x2 = 3
3、 x2 7x 10 0
x 2x 5 0
x1=2，x2 =5
2、 x2 x 6 0
3、 x2 17 8x
解： x2 8x 17 0 a 1,b 8,c 17
且=b2 4ac 82 4117
4 0
原方程无实数根.
△<0,方程没 有实数根：
3、归纳：
对于一元二次方程：ax2 +bx+c 0a 0
其中：判别式 b2 4ac 当△>0时,方程有两个不相等的实数根； 当△=0时,方程有两个相等的实数根； 当△<0时,方程没有实数根。
4、不解方程，用根的判别式判断方程的根的情况：
1、 2x2 3x 1 0
2、 3x2 6x+3 0
解： a 2, b 3, c 1 ∴方程有两个相
=b2 4ac=32 4 2 1 等的实数根
=17>0
∴方程有两个不相等的实数根
3、 a2 2a 1 0