z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d] Q( y ) =

d
b
a
f ( x , y )dx
I



c
Q( y )dy
b

d
c
dy f ( x , y )dx
a
0
c
y
d
y
a
. .
b
.
D
b d
x
同理，也可以先对 y 积分
I

a
dx f ( x, y )dy
c
5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域） z

11. 将二重积分化成二次积分 D: 由四条直线 : x=3，x=5, y 3x – 2y+4 = 0, 3x –2y+1 = 0 19 2 共同围成的区域 先对y积分
I
f ( x , y )d xdy
D
I



dx
( x ) ( x )
8
D1 D2
i 1
n
D
.
x
2. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
z
Vi f ( x i , yi ) i
3 积零为整 V f ( x i , y i ) i
i 1 n
V
4 取极限
令分法无限变细
0 y
.
V = lim f ( x i , y i )Δ σ i
i 1
n
记
f ( x , y )d
D
x
.
3. 比较大小
比较 I ( x y ) d
D
与 I ( x y ) d 的大小,
D
其中
D由 ( x ) ( y )
y
围成
由二重积分的性质
I1 I 2
更确切的 I 1 < I2
0
D1
b

b
y
. .
a
x
a ( b y ) dy b
ab ab 2

ab （定积分三角代换） cos d
=
瓦里斯公式
10. 将二重积分化成二次积分 D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围
i 1 n
0 y
.
i
x
D
2. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
z
Vi f ( x i , yi ) i
3 积零为整 V f ( x i , y i ) i
i 1 n
4 取极限
令分法无限变细
0 y
V = lim f ( x i , y i )Δ σ i
推广
三重积分

高斯公式
2. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
z
S
0 y
i
x
D
2. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
z
Vi f ( x i , yi ) i
3 积零为整 V f ( x i , y i ) i
D
先对 y 积分
x =1– y
I
dx


x
x
f ( x , y )dy
D1
0
先对 x 积分 （不分块儿行吗？）
1
x
I

D1 D2
D2 x = y +1
.

dy



y

y
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx
–1
. .
dy
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =

ψ( y )
φ( y)
f ( x, y )dx
0
c
y
x=(y)
d
y
I = c

d
Q( y )dy

d
c
dy
.
.
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
D
x x=(y)
6. 二重积分计算的两种积分顺序
1
y
I
f ( x , y )d xdy
D
先对 y 积分
y =1– x
I dx



x
x
f ( x, y )dy
0
1
x
y = x –1
–1
. .
10. 将二重积分化成二次积分
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围
1
y
I
f ( x , y )d xdy
D
23 计算I f ( x,y)dxdy. D : x 2 y 2 4x , x2 y 2 8x, x y, y 2x所围 24 将积分换序
I dx
0
2a
2 ax 2 ax x 2
f ( x,y)dy
R 1 R 2
25 将积分化为极坐标形式
I
1 画出区域 D 图形
xydxdy ,
D
D: y x 与
y x 所围区域
2 先对 y 积分（从下到上）
y
xydxdy dx x xydy


x
1
D
xdx ydy
x

x
1 1 1 3 5 ( x x )dx 24 2 0
3 先对 x 积分（从左到右）
f ( x , y )dy
11 将二重积分化成二次积分 D: 由四条直线 : x =3，x = 5, 3x –2y+4 = 0, 与 3x –2y+1 = 0 共同围成的区域
12 将二重积分换序： 13 将二重积分换序：
I dy
0
1
y
y
f ( x,y)dx
I dx
0
a
2 ax x 2
x
f ( x,y)dy
I = a dxy ( x ) f ( x, y )dy
7. 计算
I
D
y dxdy x y
D:
y x y
y
I
y
3



dy

y y
y=x
y dx x y
. . .
D 1
x=y2
3 1 ln 2 12 2
0
1
3
x
8. 用两种顺序计算
I

D
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
0
c
y
x=(y)
d
y
D
x x=(y)
5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域） z
I

D
f ( x , y )d xdy
z f ( x, y ) y y .
z=f (x,y)
i 1
n
i
.
D
x
2. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
z
Vi f ( x i , yi ) i
3 积零为整 V f ( x i , y i ) i
i 1 n
4 取极限
令分法无限变细
0 y
i
V = lim f ( x i , y i )Δ σ i
0
x+y>1 1
2
1
2
x + y =1
x
4.二重积分的计算 (D是矩形区域z)
复习§2：平行截面面 积为已知的立体的体积
I

D
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
0
c
y
d
y
a
b
x
D
4. 二重积分的计算 (D是矩形区域z)
I

D
z f ( x, y ) y y
I
f ( x , y )d xdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
D
x
I=

x ( y )
x ( y )
f ( x , y )dx
6. 二重积分计算的两种积分顺序
I
f ( x , y )d xdy
D
D: x1(y) x x2(y) cyd
14 （练习）将二重积分化成二次积分 15 为什么引用极坐标计算二重积分 16 利用极坐标计算二重积分
17 怎样用极坐标计算二重积分
18 怎样用极坐标计算二重积分 19
(1) 极点不在区域 D 的内部
(2) 极点位于区域 D 的内部
把 I f ( x,y)dxdy 变为极坐标形式
其中 D : ( x a) 2 y 2 a 2 与 y 0 所围区域