2010 年 26．累次积分

y
2 0
dx
2 x x2 2 x x2
f ( x, y)dy 写成另一种次序的积分是
A．


1 0
dy
dy
y
f ( x, y)dx
B．

2 0
dy dy
2 y y2 2 y y
2
f ( x, y)dx
1 1
1 y 2 1 y 2
y
1. 设 D 可表示为不等式(如图 12.1-2)
y1 ( x ) y y2 ( x ) ， a x b ．
y=y1(x)
D y=y2(x)
o
则 y ( x) b f ( x, y )dxdy a dx y ( x ) f ( x, y )dy ．(1)
2 1
a
x
b
并作和 f (i ,i ) i ．如果当各小闭区域的直径中的最大
i 1
n
值 趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的二重积分，记作 f ( x, y )d ，即
D
f ( x, y )d lim f ( i ,i ) i 0 i 1
第十二讲 二重积分
考试点津：
• 本讲出题在7分—13分之间，二重积分的计算是建 立在定积分计算基础上的，关键是如何准确转化 为累次积分，特别是计算题，一定按步骤完成。 • 本讲重点：（1）二重积分性质和几何意义、对称 区间上性质的应用。（2）直角坐标系下二重积分 的计算。（3）极坐标系下二重积分的计算。（4） 直角坐标系下两种积分次序的交换。 • 本讲难点：准确画出积分区域，并确定累次积分 的内外层积分限 。
n D
3．二重积分的性质 性质 1 常数因子可提到积分号外面，即
kf ( x, y )d k f ( x, y )d ．
D D
性质 2 函数和与差的积分等于各函数积分的和与差，即
[ f ( x, y ) g ( x, y )]d f ( x, y )d g ( x, y )d ．
C．
f ( x, y)dx
1 1
1 1 y 2 1 1 y 2
D．
f ( x, y)dx
27．设 D {( x, y ) | x ≤ 2, A． 2 B． 16
y ≤ 2} ，则 dxdy
D
C． 12
D． 4
48．计算二重积分
2

D
2
x 2 y 2 d ，
其中 D 是由圆 x y 3 所围成的闭区域．
z f ( x, y ) ，称这个立体为曲顶柱
体．当 f ( x, y ) 0 时该曲顶柱体的 体积如图 12.1-1．
2．二重积分的概念
定义 设 f ( x, y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数．将闭
区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1 ， 2 ，…， n ， 其中 i 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的面积． 在每个 i 上任取一点( i ,i ) ，作乘积 f ( i ,i ) i （i=1,2,…，n）
解 在极坐标系下，区域 D 可表示为 1 r 2,0 4 ， 于是得到 1 π 4 2 1 2 2 32 1 ( x y ) d 3 rdrd 0 d 1 3 rdr r D D r r 2 π 4 1 π d ． 0 8 r r 1
x
D
图12.1-2
说明：公式(1)就是二重积分化为二次定积分的计算 方法，该方法也称为累次积分法．计算第一次积分时，视 x 为常量，对变量 y 由下限 y1 ( x) 积到上限 y2 ( x) ，这时计 算结果是一个关于 x 的函数，计算第二次积分时，x 是积 分变量，积分限是常数，计算结果是一个定值．
f ( x, y )d f ( , )d
D
12.1.2 在直角坐标系下计算二重积分
在直角坐标系中， 采用平行于 x 轴和 y 轴的直线把区 域 D 分成许多小矩形，于是面积元素 d dxdy ，二重积 分可以写成
f ( x, y )dxdy ．
D
化二重积分为二次积分的方法:
2．设积分区域D 可表示为不等式(如图 12.1-3) x1 ( y ) x x2 ( y ) ， c y d ， 则

D
f ( x, y )dxdy dy
d c
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x, y )dx
(2)
图12.1-3
注意：化二重积分为累次积分时，需注意以下几点： （１）累次积分的下限必须小于上限； （２）用公式(1)或(2)时，要求 D 分别满足：平行于 y 轴或 x 轴的直线与 D 的边界相交不多于两点, 如果 D 不 满足这个条件，则需把 D 分割成几块．然后分块计算；
5 7
D
1 x
2
D1
4
D2
x
0 dx x 2 xy 2 dy 1 dx x 2 xy 2 dy ，
可以看出此种方法要麻烦得多，所以 恰当地选择积分次序是化二重积分为 二次积分的关键步骤．
12.1.3 在极坐标系下计算二重积分
如图 12.1-６，如果 r 和 很小， 小区域近似于以 r 和 r 为边 的矩形，所以在极坐标系下的 面积元素为 d r d rd ， 再分别用 x r cos ， y y sin 代换被积函数 f ( x, y ) 中的 x，y，这样 二重积分在极坐标系下表达式为 f ( x, y )d f (r cos , r sin ) rdrd
y ≤ 2} ，则 dxdy
D
B
D． 4
C． 12
48．计算二重积分
2

D
2
x 2 y 2 d ，
其中 D 是由圆 x y 3 所围成的闭区域．
2011年
（３） 正确选择积分次序． （４）外层积分的上、下限必须是常数．若内层是关 y 于 x 的积分，其上、下限或为常数，或是含 的表示式，反 之也一样．
例 1 计算 2 xy 2 dxdy ，其中 D 由抛物线 y 2 x 及直 线 y x 2 所围成．
D
解 作 D 的图形(如图 12.1-４)． 选择先对 x 积分，这时 y y 2 x y 2, 2 x=y2 D 的表示式为 1 y 2, 2 y2 D 2 xy 2 dxdy 1 dy y 2 2 xy 2 dx 0 从而
则二重积分就可化为如下的累次积分
r ( )D Nhomakorabea如果极点在内部(如图 12.1-８)，则有 2π r ( ) f ( x, y )d 0 d 0 f ( r cos , r sin ) rdr
D
例 2 计 算 ( 如 图 12.1- ９ ) 中 的 所 示 区 域 D 上 函 数 1 f ( x, y ) 2 的积分 2 3/ 2 (x y )
D D D
性质 3 若积分区域 D 分割为D1 与D2 两部分，则有
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d
D D1 D2
性质 4
(中值定理)设 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续，
是区域 D 的面积，则在 D 上至少有一点( ) 使得下式成立
y
f ( x, y)dx
B．

2 0
dy dy
2 y y2 2 y y2 1 1 y 2 1 1 y 2
f ( x, y)dx
1 1
1 y 2 1 y 2
C．
f ( x, y)dx
1 1
D．
f ( x, y)dx
27．设 D {( x, y ) | x ≤ 2, A． 2 B． 16
2011年
12.1 二重积分的概念与计算
12.1.1 二重积分的概念与性质 12.1.2 在直角坐标系下计算二重积分 12.1.3 在极坐标系下计算二重积分
12.1.4 内容小结
12.1.1 二重积分的概念与性质
1．引例：曲顶柱体的体积 曲顶柱体：是指底是xOy 平面上的闭区域 D，侧面是 以 D 的边界曲线为准线，而母线 平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲面
D D
极坐标系下二重积分计算： 实际计算时，与直角坐标系 下情况类似，还是化成累次积分 来进行.设 D(如图 12.1-７)
位于两条射线 和 之间，D 的两段边界线极坐标方 程分别为
r r1 ( ) ， r r2 ( ) ，
2 f ( x, y )d d r1 ( ) f ( r cos , r sin ) rdr ,
D
B(4,2) x=y+2 x
y (x ) |
2 1 2 2
1 ( y 4 4 y 4 y 2 y 6 )dy
2
y2 y2 3
dy
-1
A(1,-1) 图12.1-4
y 4 3 y 6 4 y y 15 3 7 1 35 5 分析：本题也可先对 y 积分后对 x 积分，但是这时就 必须用直线 x 1 将 D 分成 D1 和 D2 两块如图(12.1-５)，其中 x y x , x 2 y x, D1 : D2 : 0 x 1, 1 x 4, 由此得 2 xy 2 dxdy 2 xy 2 dxdy 2 xy 2 dxdy
说明：一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区 域， 或被积函数中含有 ( x 2 y 2 ) a 项时， 采用极坐标计算往 往比较简便．