1 A J 2
2
x O
解：棒下摆为加速过 程，外力矩为重力对O的 力矩。 棒上取质元dm,当 棒处在下摆角时，重力 dM xgdm 矩为：

dm dmg
X
M ＝ gxdm g xdm
据质心定义
M mgx C
xdm＝ mx C
O
xc

C
dm
X
重力对整个棒的合力矩与全部重力集 中作用在质心所产生的力矩一样。
外力矩 内力矩
Oi r i
fi f it
Fit Fi
mi
对所有质元的同样的式子求和： ∑Fit ri +∑fit ri = ∑miri2 一对内力的力矩之和为零，所以有
对于转轴的转动惯量 用M表示∑Fit ri （合外力矩） 则有 M＝J
∑Fit ri = （∑miri2） 令J＝ ∑miri2 J为刚体
1 xc l cos 2

2 0
1 M mgl cos 2

2 0
mg
dmg
l l A Md mg cosd mg 2 2 刚体的重力势能： E p mg hc 如果刚体在运动过程中
1 l mg J 2 2
2
3g l
只有保守力作功,则此 系统的机械能守恒。
【例题1】 如图所示，一个组合轮由两个匀质的圆盘固接 而成，大盘质量 M1=6kg，半径 R=0.10m，小盘的质量 M2=4kg，半径r=0.05m。两盘边缘上分别绕有细绳，细绳 的下端各悬挂质量为 m1=m2=2kg 的物体，试求： ①两物体 m1、m2 的加速度大小； ②两绳子中的张力。
解：
o′
·
o′
·
Δ Δ
· o
o
3-1 刚体运动的描述 一、描述刚体转动的物理量 角位置：
转动正方向
(t )
角位移
刚体运动方程
r
（参考方向）
转动平面
(t t ) (t )
d 角速度： dt
d d 2 角加速度 dt dt 2
在刚体作匀加速转动时:

mi
o
ri
E
K


i
E ki
1 2

i m i ( ri Fra bibliotek ) 21 ( m i ri 2 ) 2 i
2
1 J 2
2
1 E k J 2 2
1 1 1 2 2 2 可证： E k J J c mv c 2 2 2
三、定轴转动动能定理
A


一、力矩的功
v
d r

dS
P
F
O

x
F cos r M
dA Md
称为力矩的功。
M不变： 1 2
M变： 1 2
A M ( 2 1 )
A Md
1 2
二、转动动能
定义：刚体上所有质元的动能之和
1 1 2 Eki mi vi mi (ri ) 2 2 2
2 ma x 2 (a x)dx 6

根据转动定理：
M J
k 2 a 5 d J 20 dt
450
dt
0
t
0
4
0
20 J d 5 2 ka
10m t 3 ka 0
3-3 刚体定轴转动的动能定理
dA F d S F cos dS F cos rd
1 1 2 2 J M1R M 2 r (4) 2 2 a1 R (5) a2 r (6)
O
T1 m1
T2
a1
a2
m2 g
m2 T2 T1
m1 g
X
【例题2】如图直角边长为a的三角形薄板，质量为m，可绕z 轴转动。所受阻力的方向垂直板面，大小与速率平方及面积 成正比（比例系数k）。求板的角速度由 0 变为 0 / 4 ，经历 多少时间？ 解： dS (a x )dx

1
2
Md
2


1
2
d J d dt
2 2


1
J d
1 J 2
1 J 2
2 1
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功 等于刚体的转动动能的增量。
例、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内 转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆到 竖直位置的角速度。
3
2
4
A
C l 2 l 2
m
m 1 J mR 2 R 2
均匀杆：
1 2 1 2 J c ml ，J A ml 12 3
例二：求如图所示的匀质细杆对 OO'轴的转动惯量
O'
已知：
L m

r

O
dm dl
dl l
2
m L
2 2
dJ r dm l sin dl
F2
M r1 F1 sin 1 r2 F2 sin 2
M 0 M 0 则M的方向和转轴的正方向一致 则M的方向和转轴的正方向相反
二、刚体定轴转动的转动定律 对mi用牛顿第二定律：
F i f i mi a i
切向分量式为：
z
Fit+fit= miait= miri 两边乘以ri ,有： Fit ri +fit ri = miri2
1 2 2 J dJ l sin dl mL sin 0 3
L 2 2
3、平行轴定理
JC C d J m
J＝JC＋md2
J mi ri 2
i
A
2
ri r d 2ric d cos i
2 ic 2
2 J mi ric mi d 2 2d mi ric cos i i i i
平行
ric
mi
i
ri
m r
i
i ic
cos i mi xi mxc 0
i
J＝JC＋md2
【例题1】计算下列刚体对O轴的转动惯量J0:
O

m 、l
M、 R
1 1 J O ml 2 MR 2 M ( l R ) 2 3 2
O
l m1、 2
2
l m 2、 2
2 2
1 l 1 l l l J O m1 m 2 m 2 3 2 12 2 2 4
剩余部分 的质量为 m
R
O

O
4 m总 m, 3
1 m孔 m 3
J 0 J1 J 2
1 J1 m总 R 2 2
1 1 1 J 2 m孔 R m孔 R 2 2 2
F
F F// F
应理解为在转动平面内的力
如果有几个力同时作用于刚体： F1
合力矩：
M r1 F1 r2 F2 rn Fn
例：如图所示
F2 Fn
1 F1
r1 r2
解：如图选定转轴正方向
2
质量为体分布
质量为线分布
dm dl dm ds dm dV
m
r
例一：常用的几个J 均匀圆环： C R m 均匀圆盘： Jc =mR 2
dm 2rdr
2 3
dJ r dm 2r dr
dr
J

dJ

R
0
1 2 r dr R 2
P点线加速度
3-2 刚体定轴转动定律 一、力对轴的力矩
转轴正方向 转动正方向
设
M r F
F 在转动平面内
大小：Ｍ r F sin F d 方向：沿转轴方向
选定转轴正方向，用M的正负 可表明力矩的方向。
r
转动平面
F
如果 F 不在转动平面内
刚体力学基础
刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化， 理想化的模型。 刚体运动的基本类型： 平动：
A
B B
A
A
B
转动：（主要讨论定轴转动）
O’
o
o
Fixed axis rotation motion Fixed point rotation motion
一般运动：平动+转动
2 2
2 2 1 1 1 1 13 2 J 0 m总 R m孔 R m孔 R mR 2 2 2 2 2 24
四、刚体定轴转动的转动定律的应用
对刚体的动力学问题 M J 与 F ma 联合起来运用
【解题步骤】： （1） 确定研究对象，进行受力分析，画出隔离体受力 图； （2） 建立坐标系，规定转轴正方向，并尽可能使两者在 运动方向保持一致； （3） 对质点的平动用牛顿第二定律，对刚体的转动用转 动定律，列联立方程； （4） 由物体之间的连接关系及角量与线量的对应关系， 列出补充方程； （5） 求解方程，并分析结果的合理性与物理意义。
O
m1 T1 T2
a1
a2
m2 g

m2 T2 T1
m1 g
X
m1 g T1 m1a1 (1) m2 g T2 m2 a2 (2) T1R T2 r J (3)