5 5 13
双曲线及抛物线（作业）
例 1： 已知双曲线 x 4 y 2 - = 1 的右焦点与抛物线 y 2
b
2 = 12x 的焦点
重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A ． 【思路分析】
B ． 4 C.3
D ．5
先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】
∵抛物线 y 2 = 12x 的焦点坐标为(3，0) ，
∴双曲线 x 4 y 2 - = 1的右焦点坐标为(3，0) ，即 c =3， b
2
∴ 4 + b 2 = 9 ，即b = ，
∴双曲线的渐近线方程为 y = ±
5
x ，即 5x ± 2 y = 0 ，
2
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d =
| 3⨯ 3
5 |
= ．故选 A ．
x 2 y 2
例 2： 如图， F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b
2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、
右焦点，过点 F 1 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若
| AB |:| BF 2 |:| AF 2 |= 3 : 4 : 5 ，则双曲线的离心率为（
）
A. B ． 【思路分析】
C ．2
D ．
利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系．
设| AB |= 3t ，则| BF 2 |= 4t ，| AF 2 |= 5t ，可得△ ABF 2 是以 B 为直角顶点的直角三角形；
5 2
15 3
2 2
13 根据双曲线的定义，得| AF 2 | - | AF 1 |=| BF 1 | - | BF 2 | ， 根据| BF 1 |=| AB | + | AF 1 | ，得
5t - | AF 1 |=| AF 1 | +3t - 4t ，解得| AF 1 |= 3t ， ∴| AF 2 | - | AF 1 |= 2t = 2a ，即a = t ， ∵∠ F 1BF 2 = 90︒ ，
∴| F 1F 2 |
= = 2 13t ，即c = 13t ， ∴离心率e = c
= ．故选 A ．
a
例 3： 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且垂直于对称轴的直线
交抛物线于 A ，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p 的值为
．
【思路分析】
利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】如图所示：
∵AB ⊥OF ，| AB |= 8 ， ∴| AF |= 4 ，
∴点 A 到准线 x = - p
的距离d = 4 ，
2 ∵点 A 到准线 x = - p
的距离为 p ，
2
∴ p = 4 ．
| BF |2 + | BF |2 1 2
5 13 y - = - = - =
- =
- = - = - =
- =
y 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1） 焦点在 x 轴上， a = 2 ，经过点 A (-5，2) ； （2） 焦距为2 ，渐近线为2x ± 3y = 0 ．
2. 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶
点的坐标为(0，2) ，则双曲线的标准方程为（
）
x 2 y 2 A ． y 2 x 2 B ． 4 4
y 2 x 2
C. 1 4 8 4 4
x 2 y 2
D. 1 8 4
3. 过点(2，- 2) 且与 （ ）
x 2 - 2
2
= 1 有公共渐近线的双曲线的方程是
y 2 x 2 A ． x 2 y 2 B ． 2 4 y 2 x 2
C. 1 4 2 4 2
x 2 y 2
D. 1 2 4
4. 双曲线
x 2 - 2
4
= 1的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A. 2 5
B. 4 5
C. 2 5 5
D. 4 5 5
2 1 1 1 1
2
x 2 y 2
5. 设 F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b
2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、右焦点，
若在 C 上存在一点 P ，使 PF 2 ⊥ F 1F 2 ，且∠PF 1F 2 = 30︒ ，则
C 的离心率为
．
2
6. 已知点 P 为双曲线 x - y = 1右支上的一点，M ，N 分别是圆
9 16
(x + 5)2 + y 2 = 4 和(x - 5)2 + y 2 = 1 上的点，则| PM | - | PN | 的最大值为
．
x 2 y 2
7. 如图，F 1 ，F 2 是双曲线 C ： a 2 - b
2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、右焦
点，过 F 1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A ，B 两点．若
△ ABF 2 是等边三角形，则双曲线 C 的离心率为
．
8.若直线y =kx -1 与双曲线x2 -y2 = 4 没有公共点，则k 的取值
范围是．
9.点M(5，3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么抛物线的
标准方程是（）
A.x2 =12 y
B.x2 =1
12
y 或x2 =-
1
y
36
C．x2 =-36 y D．x2 =12 y或x2 =-36 y
10.已知抛物线y2 = 2 px( p > 0) 的准线与圆x2 +y2 - 6x - 7 = 0 相
切，则p 的值为（）
A．1
2
A.1C．2 D．4
11.已知点M 为抛物线y2=2x上的一个动点，则点M 到点(0，2)的
距离与点M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A.17
2 B．
3 C．D．9 2
12.已知直线l 与抛物线y2 = 8x 交于A，B 两点，且直线l 经过抛
物线的焦点F，A 点的坐标为(8，8)，求线段AB 的中点到准线的距离．
5
13.如图，过抛物线y2 = 2 px( p > 0) 的焦点F 的直线l 交抛物线于
点A，B，交其准线于点C，若| BC |= 2 | BF | ，| AF |= 3 ，求此抛物线的方程．
3y y
x y
【参考答案】
1．（1）x 2 2
-=1；（2） 2 2
-=1或-
x2
= 20 16 9 4 9 4
2．B 3．A 4．C
5．6．9 7．8．k <-
5
或k >
5 2 2
9．D 10．C 11．A
12．25 4
13．y2 = 3x 7
1
2。