解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 三角形中的有关问题变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14 B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（ ）A 1665 B 5665 C 1665或 5665D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin ABC a b cA b S AB C++∠===++V 则= ．4c =，由余弦定理可求得a =例3. 已知在△ABC 中，sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C ．解：由sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，得sinAsinB ＋sinAcosB －sin(A ＋B)＝0，所以sinB(sinA －cosA)＝0∵B ∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA ＝sinA ，由A ∈(0, π)，知A ＝4π从而B ＋C ＝π43，由sinB ＋cos2C ＝0得sinB ＋cos2(π43－B)＝0cos ＝(23π－2B)＝cos[2π－(2π＋2B)]＝cos(2π＋2B)＝－sin2B 得sinB －sin2B ＝0，亦即sinB －2sinBcosB ＝0，由此各cosB ＝21，B ＝3π，C ＝125π∴A ＝4π B ＝3π C ＝π125变式训练3：已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sinB 得22（224Ra －224Rc ）=（a －b ）Rb2.又∵R=2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab.∴cosC=ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°.（2）S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA －cos120°sinA ）=3sinAcosA+3sin 2A =23sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，S max =233.第2课时 应用性问题２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．例1．(1)某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 （ ）（A ）3 （B ）32 （C ）3或 32 （D ）3解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A 403203,3m m B 103,203m m C 10(32),203m m - D153203,23m m 解：A（3）一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（ ） A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解： B（4）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是 ． 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h 的速度由B 到C 航行， 航向为方位角0140NBC ∠=，A 处有灯塔， 其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的典型例题基础过关方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时， 则C 到灯塔A 的距离是解：10(62)-km 提示：由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练1：如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1ο）？解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=107.∵sin 20107ACB ∠=, ∴sin ∠ACB=73,∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南2(cos )10θθ=方向300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北ο45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ 由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ ∠⋅-+=cos 2222由于PO=300,PQ=20t()5445cos cos =-=∠οθOPQ 故2222203009600OQ t t =+-()21060t ≤+ 即2362880t t -+≤ 解得 2412≤≤t答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．变式训练2：如图所示,海岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B 处测得岛A 在船的南偏东030方向上，船航行30海里后，在C 处测得岛A 在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 解：由题意得，在△ABC 中，BC=30，030B =，0135ACB ∠=北2010A B•C所以 015A =，由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=0030sin15sin 30AC ∴= 所以060cos15AC =， 于是A 到BC 所在直线的距离为0sin 4560cos15sin 45AC =40.9838≈> 所以船继续向南航行无触礁危险。

例3. 如图所示，公园内有一块边长2a 的等边△ABC 形状的三角地， 现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上， E 在AC 上.（1）设AD ()x x a =≥，ED y =，求用x 表示y 的函数关系式； （2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置 应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的 位置又在哪里？请给予证明.解：（1）在△ABC 中，D 在AB 上，2a x a ∴≤≤Q S △ADE =12S △ABC 02011sin 60sin 6024x AE AB ∴⋅=⋅ 22a AE x ∴= ，在△ADE 中，由余弦定理得：4222242a y x a x =+- 422242(2)a y x a a x a x∴=+-≤≤（2）令 2x t =，则224a t a ≤≤ 则4242a y t a t=+-令 42224()2,[,4]a f t t a t a a t=+-∈， 则4242222244(2)(2)()1a t a t a t a f t t t t --+'=-==22(,2) ()0t a a f t '∴∈<当时,；22(2,4) ()0t a a f t '∈>当时, 222222 ()3,(2)2,(4)3f a a f a a f a a ===又22,2 t a x a ∴==当 即 时,y 有最小值2a ，此时DE ∥BC ，且2AD a =224, 2 t a a x a a y ==当 或 即 或 时,有最大值3a ，此时DE 为△ABC的边AB 或AC 的中线上.变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h ，梯形面积为S ，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？解：设 CD a =，则2,,sin tan h h CD a CB AB a αα===+则， 所以 12()2tan tan h S hS a a h a h αα=++⋅∴=-设两腰与下底之和为l ，则22cos 2tan sin sin S h h S l a CB h h h αααα-=+=-+=+⋅22212sin 3sin cos 2222sin cos 2sin cos 2222S S h h h h ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪=+⋅=+⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31tan 222tan 2S h h αα⎛⎫⎪=++⋅ ⎪⎪⎝⎭312tan 3222tan 2S Sh h h h αα⎛⎫ ⎪≥+⨯⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭当且仅当31tan 222tan 2αα=时，上式取等号，即当3tan 23α=时，上式取等号 0030,602αα∴==即，所以下角060α=时，梯形两腰及下底之和达到最小．例4. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。