极限与导数
一、极限
1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→n
n ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式q
a S S n n -==∞→1lim 1(0<1<q ); 2、函数的极限：
(1)当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞
→+∞→)(lim )(lim (2)当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 0
0: 3、函数的连续性：
(1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00
x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；
(2)若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)
()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； (3)若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；
4、连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00
x f x f x x =→；
二、导数
1、导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000； 2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(x f x x f y -∆+=∆ (2)求平均变化率x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; (3)取极限,得导数x y x f x ∆∆='→∆0lim )(; 3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；
4、导数的几何意义：曲线y ＝f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-
5、导数的四则运算法则：
v u v u '±'='±)( ///[()()]()()f x g x f x g x ±=±
v u v u uv '+'=')( []()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 推论：[]()()cf x cf x ''=(C 为常数)
2
)(v v u v u v u '-'=' []
2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 6、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' 7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；
(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。