中考数学专题复习——等腰三角形一．选择题1．( 沈阳市 ) 若等腰三角形中有一个角等于 50o ，则这个等腰三角形的顶角的度数为 （）A ． 50oB ． 80oC ． 65o 或 50oD ． 50o 或 80o2．( 大庆市 ) 如图，将非等腰 △ ABC 的纸片沿 DE 折叠后，使点 A 落在 BC 边上的点F 处．若点 D 为 AB 边的中点，则下列结论：① △BDF 是等腰三角形；②DFECFE ；③ DE 是 △ ABC 的中位线，成立的有（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③AD EBCF3．( 大庆市 ) 如图，在 △ ABC 中， AC BC AB ，点 P 为 △ ABC 所在平面内一点， 且点 P 与 △ABC 的任意两个顶点构成 均是等腰三角形，则满△ PAB ，△PBC ，△ PAC ．． 足上述条件的所有点 P 的个数为（ ）CABA ．3B ．4C ．6D ．74．（ 2020 四川内江）如图，在 Rt △ ABC 中， ∠C90o ，三边分别为 a ，b ，c ，则 cosA 等于（）BcaACA ．aB ．aC ．bD ．bbcbac5．(2020台湾 ) 如图， ABC 中， D 、E 两点分别在 AC 、BC 上，则 AB=AC ， CD=DE 。

若 A=40 ，ABD ： DBC=3： 4，则 BDE=？( )A DBCE(A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 406．（ 2020 湖北黄石）．如图，在等腰三角形 ABC 中， ABC 120o ，点 P 是底 边 AC 上一个动点， M ，N 分别是 AB ， BC 的中点，若 PMPN 的最小值为 2，则 △ ABC 的周长是（）BMNAPCA ． 2B ．2 3C ． 4D ．4237.(2020 安徽 ) 如图，在 △ ABC 中， AB AC 5 ， BC 6 ，点 M 为 BC 的中点，MN AC于点 N ，则 MN 等于（）A．6B．9C．12D．16 5 5 5 58．(2020 新疆乌鲁木齐市 ) 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和 6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或 15cm9．(2020 云南省 ) 已知，等腰三角形的一条边长等于 6 ，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12C．15 D．12或1510．(2020 山东济宁 ) 如图，△ ABC 是等腰直角三角形， BC 是斜边，将△ ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ ACP 重合，如果 AP 3 ，那么 PP 的长等于（）A．3 2 B．2 3C．4 2 D．3 3二．填空题1．（ 08山东省日照市）如图，C为线段 AE上一动点（不与点 A，E重合），在 AE同侧分别作正三角形 ABC和正三角形 CDE，AD与BE交于点 O，AD与 BC交于点 P，BE与 CD交于点Q，连结 PQ．以下五个结论：ADFEB C①AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④DE=DP；⑤ ∠ AOB=60°．恒成立的有 ______________（把你认为正确的序号都填上）．2．（山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1的斜边为直角边向外作第 3个等腰直角三角形A1BB1，，如此作下去，若OA＝ OB＝ 1，则第 n个等腰直角三角形的面积S n＝________。

B2A1AO B B1３．（2020 湖北孝感）如图， AB=AC，BAC 1200，AB的垂直平分线交BC于点 D，那么ADC。

４．（2020 浙江湖州）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为度 .5．（08 山东省日照市）如图，C 为线段AE上一动点（不与点A，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与 CD交于点 Q，连结 PQ．以下五个结论：BODP QA CE①AD=BE；②PQ∥AE；③ AP=BQ；④DE=DP；⑤ ∠AOB=60°．恒成立的有 ______________（把你认为正确的序号都填上）（答案）．6．（2020 江苏南京）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为▲度.7．（ 2020 江苏宿迁）等腰三角形的两边长分别是3 和 7 ，则其周长为______．8.（ 2020 江西）如图，有一底角为 35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是．35°9．（湖南省邵阳市）如图（十一），已知△ ABC中，AB AC，AD平分BAC ，点E为AC 的中点，请你写出一个正确的结论：．AEB CD图（十一）10. （2020 湖南益阳市）如图5，在△ ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F2是AD 的三等分点，若△ ABC 的面积为12cm ，则图中阴影部分的面积是2cm.AEFB CD图 511．（2020 广东肇庆市）如图3，P 是∠ AOB的角平分线上的一点，PD⊥ OB 于点 D，写出图中一对相等的线段（只需写出一PC⊥OA于点C，对即可）.三．简答题1.（ 08浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点 A 作BC的中垂线AD ，垂足为 D ”；彬彬：“作△ ABC的角平分线AD ”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．2.（ 08浙江宁波）（ 1）如图 1，△ABC中，∠ C 90o，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC 分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．已知：如图，在△ABC中，B C ．求证：AB AC ．AB CD3.( 沈阳市 ) 已知：如图①所示，在△ ABC和△ ADE中，AB AC ， ADAE ，BAC DAE ，且点 B，A，D 在一条直线上，连接 BE，CD，M，N 分别为BE，CD 的中点．（1）求证：① BE CD ；②△ AMN 是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将△ ADE绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（ 2 ）的条件下，请你在图②中延长 ED 交线段 BC 于点 P ．求证：△PBD ∽△ AMN ．C CNN EDABMMBA DE图①图②4.(2020 广东 ) （ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD ，连结 AC 和 BD ，相交于点 E ，连结BC ．求∠ AEB 的大小；CBBCEDOAOA图 7D图 8（2）如图 8， OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O旋转（OAB 和 OCD 不能重叠 ) ，求∠ AEB 的大小 .5.(2020 湖南 益阳 ) 如图，在△ ABC 中， AB=BC=12cm ，∠ ABC=80°， BD 是∠ ABC 的平分线， DE ∥BC.(1) 求∠ EDB 的度数；A(2) 求 DE 的长 .EDB C6.(2020 新疆乌鲁木齐市 ) 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：① AB DC，② BE CE，③ B C ，④ BAE CDE ．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△ AED 是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）ADE已知：求证：△ AED 是等腰三角形．B C7. （ 2020 湖北宜昌市）如图，某种雨伞的伞面可以看成由12 块完全相同的等腰三角形布料缝合而成 . 量得其中一个三角形OAB的边 OA=OB=56cm.（1）求∠ AOB的度数；（2）求△ OAB的面积 . （不计缝合时重叠部分的面积）等腰三角形答案一．选择题1.D2.B3.B4.D5.B6. D7.C8.C9.C 10.A二. 填空题1. ①②③⑤．2. 2n 23. 6004. 405. ①②③⑤6. 110 °或 35°7. 178.125o9.答案不唯一．例如： B C 10. 6 11. PC=PD三. 解答题1. 解：（ 1）只要合理即可．（2）证明：作△ABC的角平分线AD，则BAD CAD ，又Q BC，AD AD，△ABD ≌△ ACD ， AB AC ．2.解：（ 1）如图，直线CM即为所求 3分（作图正确，不写结论不扣分）（2）图 2能画一条直线分割成两个等腰三角形，4分分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132 o和 84 o．5分图3不能分割成两个等腰三角形．6分3.证明：（ 1）① Q BACDAEBAE CADQAB AC，AD AE△ABE ≌△ ACDBE CD ···························3 分②由△ ABE ≌△ ACD 得 ABE ACD ， BE CDQ M ， N 分别是 BE，CD 的中点，BM CN ············4 分又Q AB AC△ ABM ≌△ ACNAM AN ，即△AMN 为等腰三角形···············6 分（2）（1）中的两个结论仍然成立．·················8 分（3）在图②中正确画出线段 PD由（ 1）同理可证△ ABM ≌△ ACNCAN BAMBAC MAN又Q BAC DAEMAN DAE BAC△ AMN ，△ ADE 和△ ABC 都是顶角相等的等腰三角形······· 10 分PBD AMN ，PDBADE ANM△PBD ∽△ AMN 12 分C B4. 解：（1）如图 7. E 5∵ △ BOC和△ ABO都是等边三角形，31 且点 O是线段 AD的中点， D 42 6O A图 7∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60° , ∴ ∠4=∠5.又∵∠ 4+∠ 5=∠2=60°,∴ ∠4=30°同理，∠ 6=30°.∵ ∠AEB=∠4+∠6, ∴ ∠AEB=60° .（2）如图 8.∵ △BOC和△ ABO都是等边三角形，∴OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，又∵ OD=OA,∴OD＝ OB，OA＝OC，∴∠4=∠5，∠ 6=∠7.∵∠ DOB=∠ 1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,BC57 E83 2 61 O A4 图8D∴∠ DOB=∠AOC.∵ ∠ 4+∠5+∠DOB=180°,∠ 6+∠7+∠ AOC=180° ,∴2 ∠5=2∠ 6,∴∠ 5=∠6.又∵∠ AEB=∠ 8- ∠5，∠8=∠2+∠6，∴ ∠AEB＝∠ 2＋∠ 5－∠ 5＝∠ 2，∴ ∠AEB＝ 60°.5.解：（1）∵ DE∥BC，∴∠ EDB＝∠ DBC＝12ABC 40（2）∵ AB＝BC， BD 是∠ ABC的平分线，∴ D 为 AC的中点∵DE∥BC，∴ E 为 AB的中点，∴DE＝1AB 6cm 26.证明：在△ABE和△DCE中，B CQ AEB DEC ，△ ABE≌△ DCE AB DCAEDE ，即△ AED 是等腰三角形7.解：（1）∠ AOB=360°÷12=30°（2）在 Rt△ BOD中，∠ AOB=30°，∴ BD=1OB=28.1 12 2∴S = ×OA× BD= ×56×28=784（cm）△ OAB22。