附录A ：量子力学中常用的数学工具1. 常用数学符号 1.1 克雷内克符号克雷内克（Kronecker ）符号i j δ在物理中有广泛应用，其定义为1,0,i j i ji jδ=⎧=⎨≠⎩ （A1-1） 可以用来简洁地表示基矢量或本征函数之间的正交归一性关系*i j i j dx ψψδ=⎰ （A1-2）1.2 列维·西维塔符号列维·西维塔（Levi-Civita ）符号i j k ε又称为三阶反对称张量，其定义为1,123,231,3121,132,213,3210,i j ki jk i jk ε+=⎧⎪=-=⎨⎪⎩其它 （A1-3） 可以用来简洁地表示矢量积的分量关系,,,(),k i j k i j i j k i j k i j i j k A B A B A B C A B C εε⨯=⨯⋅=∑∑v v vvv （A1-4）1.3. 微分算符在坐标表象下，动量对应梯度算符，梯度算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为11sin x y z r e e e e e e x y z r r r θϕθθϕ∂∂∂∂∂∂∇=++=++∂∂∂∂∂∂v v v v v v （A1-5）利用球坐标表达式r r re =v v，得到1sin r e e ϕθθθϕ∂∂⨯∇=-∂∂v v v （A1-6）上式决定了角动量在球坐标中的表示形式。

（A1-6）式的平方为球面拉普拉斯算符22211sin sin sin θθθθθϕΩ∂∂∂∆=+∂∂∂ （A1-7） 与角动量平方相对应。

拉普拉斯算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为222222222211r x y z r r r Ω∂∂∂∂∆=∇=++=+∆∂∂∂∂ （A1-8）与动能相对应。

2．常用数学函数 2.1．Γ函数及其应用Γ函数是阶乘的推广，也称伽马函数，其定义为10()0t x x e t dtx ∞--Γ=>⎰ （A2-1）它具有一些的典型特殊值1122()(1)!,()()n n n Γ=-Γ+=Γ= （A2-2） 下面的积分可以化为Γ函数22112201||()2n nn n ed ed e d ξξζξξξξζζ-∞∞∞-----∞+===Γ⎰⎰⎰ （A2-3） 21122sin(tan )sin (),,0()xb atx a x etbtdt x x a a b -∞--=Γ>+⎰（A2-4）2.2．谐振子能量本征函数和厄密多项式厄密多项式的定义为22()(1)n nx x n nd H xe en N dx -=-∈ （A2-5）满足微分方程0)(2)(2)(=+'-''x nH x H x x H n n n，具有性质()(1)()n n n H x H x -=-，并满足带权重的正交性关系2,()()2x nl n l n H x H x e dx n ∞--∞=⎰（A2-6）前4个厄密多项式为230123()1,()2,()42,()812H x H x x H x x H x x x===-=- （A2-7）谐振子能量的本征函数为2212()()x n n n x N eH x αψα-= （A2-8）其中归一化系数为n N =2.3 角动量与球函数归一化的球谐函数定义为,,(,)(1)(cos ),,||m m im l m l m l Y N P el N m l ϕθϕθ=-∈≤ （A2-9） 其中,l m N 为归一化系数，而2/22(1)()(1),||2!m l m ml l l l m x d P x x m l l dx++-=-≤⋅ （A2-10）为连带勒让德函数。

球谐函数满足球面赫姆霍兹方程,,(1)0l m l m Y l l Y Ω∆++=和递推公式,1,1,1,11,1cos sin l ml m l mi l m l m Y e ϕθθ+-±+±-±== （A2-11）是角动量平方及其z 分量的共同本征函数。

前几个球谐函数为0,01,01,122,02,1222,2,1),sin i i i Y Y Y e Y Y e Y e ϕϕϕθθθθθθ±±±±±±====-==（A2-12）2.4 氢原子径向波函数与缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式的定义为()()kk nn k d L x L x dx= （A2-13）其中()()n xx nn nd L xe e x dx -= （A2-14）称为拉盖尔多项式，满足拉盖尔微分方程''()(1)'()()0n n n xL x x L x nL x +-+=。

氢原子的径向波函数为02122()()(),0r na l l r r nl nl n l na na R r N eL n l -++=>≥ （A2-15） 其中nl N 为归一化系数。

记0/r a ξ=，前几个径向波函数为)/2/21,02,02,12/3/344213,03,13279272/33,2(),()),()()2,()()()R r e R r e R r e R r e R r e R r e ξξξξξξξξξξ------==-==-+=-=（A2-16） 2.5 散射相移与球贝塞尔函数l 阶球贝塞尔函数和球诺伊曼函数的定义分别为1122()(),()()l l l l j x x n x x ++==（A2-17）其中()J x ν和()N x ν分别为ν阶贝塞尔函数和诺伊曼函数20()cos ()(1)()(),()!(1)2sin n v n v n J x J x xJ x N x n v n ννννπνπ∞+-=--==Γ++∑ （A2-18） 球贝塞尔函数和球诺伊曼函数是球贝塞尔方程22(1)'''[1]0l l l l l y y y x x +++-=的两个线性独立的特解，具有渐近形式1111()sin(),()cos()22x x l l j x x l n x x l x x ππ→∞→∞−−−→-=−−−→- （A2-19）散射问题中，径向波函数的渐近形式为112()sin()r l l l R r Ar kr l πδ→∞-−−−→-+，它与球贝塞尔函数()l j kr 的位相差l δ称为相移，相移在散射截面的计算中非常重要。

整数阶的球贝塞尔函数和球诺伊曼函数都是初等函数，前几个分别为001122222133sin cos (),()sin cos cos sin (),()3sin 3cos sin 3cos 3sin cos (),()x xj x n x x x x x x x x x j x n x x x x x x x x x x x x x j x n x x x ==--+==---+-==- （A2-20） 2.6 狄拉克函数狄拉克函数是一个广义函数，定义为0,0(),()1,0x x x dx x δδ∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰（A2-21）可以表示质点或点电荷的密度，在量子力学中常常用来表示本征函数集合的完备性*(')()(')n n n x x x x ψψδ∞==-∑ （A2-22）和连续谱本征函数的正交归一性关系。

狄拉克函数及其导数具有选择性质()()(),'()()'()x a f x dx f a x a f x dx f a δδ∞∞-∞-∞-=-=-⎰⎰（A2-23）狄拉克函数的积分为亥维赛（Heaviside ）函数，也称单位阶跃函数1,0()()0,0xx x d x εδξξ-∞≥⎧==⎨<⎩⎰（A2-24）3．常用数学公式 3.1矢量积分公式封闭曲线积分的斯托克斯公式为DDA dl A dS ∂⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰v v v vÑ （A3-1）其中D ∂为曲面D 的边界曲线。

封闭曲面积分的高斯公式为VVA dS A dV ∂⋅=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰v v vÒ （A3-2）其中V ∂为空间区域V 的边界曲面。

3.2 级数求和公式22222221111,,6268n n n n n n πππ∞====⋅∑∑∑为偶数为奇数（A3-3） 44444441111,,9029096n n n nnnπππ∞====⋅∑∑∑为偶数为奇数 （A3-4） 66666661111,,9452945960n n n n n n πππ∞====⋅∑∑∑为偶数为奇数（A3-5） 3.3 统计公式在给定概率分布()i i P Q q w ==时，随机变量Q 的期待值为i i i Q w q =∑ （A3-6）其函数()f Q 的期待值为()()i i i f Q w f q =∑ （A3-7）随机变量Q 的方差为2222()()Q Q Q Q Q ∆=-=- （A3-8）。