5、到达机场的 降落 飞机 6、进入我方阵 我方高射炮进 行射击 地敌机
一、排队系统的基本概念
1
排队系统的组成
1 排队系统的三个基本组成部分
到达模式
服务机构
排队规则
到达 按规则接受服务 离开
动态实体
排队
服务机构
一、排队系统的基本概念
到达模式
（1）平均到达间隔时间T0 （2）平均到达速度λ
…
c
排队规则
排队规则
系统处于“忙”时，动态实体进入队列的三种处理方法： 损失制 等待制
先到先服务（FIFO、FCFS）
后到先服务（LIFO） 随机服务（GIRO）
优先权服务（PR）
混合制
队列的度量
队列的度量
（1）服务强度

（2）实际业务强度u‘

' u' 1

∞
Lq =∑ (n－1)Pn
n=1
=Ls－ρ
= ρ2/(1-ρ)
2 , 0 1 ( )
• 3. 逗留时间
关于顾客在系统中的逗留时间Ws服从为(μ -λ )
的负指数分布。
这样就求到顾客在系统中的平均逗留时间：
1 Ws
4.等待时间：（顾客在系统中平均等待服务
二、到达时间间隔和服务时间分布
4
正态分布
1 1 x 2 f ( x) exp[ 2 ( ) ] , x 2
排队规则
1 1 2
2
…
多队-多服务台（并列）排队系统
1 2
…
…
c
c
单队-多服务台（并列）排队系统
C
多服务台（串列）排队系统
1 2 1 2
…
c
多服务台（组合式）排队系统
T T0 n
1 n T0 T
（3）到达间隔时间的分布函数A（t）
e t , t 0 A(t ) t0 0,
一、排队系统的基本概念
服务机构
（1）平均服务时间Ts （2）平均服务速度μ
T Ts ns 1 ns Ts T
（3）服务时间的分布函数B（t）
［Pn (t+t)－Pn (t)］/t = Pn－1(t)+ Pn+1(t)－( +)Pn (t)+o (t)/ t
令 t 趋于0，有下列微分差分方程： d［ Pn (t) ］/ d t = Pn－1(t) +Pn+1 (t)－( + )Pn(t) • （当n=0时只有（A）和（B）） d［ P0(t) ］/ d t = - P0(t) +P1 (t) • 在稳定情况下， d［ Pn (t) ］/ d t = 0。有： － P0 + P1 =0 Pn－1 + Pn+1 －( + ) Pn =0 n≥1 • 求解上面两式的递推方程，得到：
三、排队系统的分析
系统中平均顾客数： 2 L （人） 2 3 2 队列的平均长度为：
2 4 LQ （人） ( ) 3
三、排队系统的分析
系统中平均逗留时间为：
L 2 （小时） 1 2
w


每个顾客在队列中花费的平均时间为：
1 2 wQ w 1 （小时） 3 3 1
时间） W q
W q=Ws－1/ = ρ /(μ-λ)
( )
以上计算可以看出，满足Little公式：
Ls Ws
Lq Wq
三、排队系统的分析
1 服务强度：

2
系统状态为n的概率：
P0 1
Pn (1 ) ,
n
n 1
0 1
• M——负指数分布 • M/M/1表示相继到达时间为负指数分布，服务时 间为负指数分布，单服务设备的模型。
三、排队系统的分析
1
单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/ ∞/FCFS)
（1）到达模式。动态实体源是无限的，动态实体单个 到达，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。 （2）排队规则。单对，且队列长度没有限制，先到先 服务。 （3）服务机构。单服务台，各动态实体的服务时间是相 互独立的，服从相同的指数分布。 (4) 到达间隔时间和 服务时间是相互独立
Pn P0
n
由： 则：
Pn P0 P0 P0 P0 1 n 1 0 P0 1 1

n
由上式，可得下式：
n 0
Pn 1

令：
(A) (B) (C) (D)
n n+1 n-1 n
× × ○ ○
× ○ × ○
n n n n
• Pn(t）表示t时刻系统中恰有n人。
情况 t 时刻顾客数 在区间［t,t+t） 到达 离去 t +t 时刻 顾客数
A
B C D
n
n＋1 பைடு நூலகம்－1 n
不发生
不发生 发生 发生
不发生
发生 不发生 发生
n
5 在系统中顾客逗留时间的期望值Ws
1 Ws
6 在队列中顾客等待时间的期望值
1 Wq ( )

三、排队系统的分析
案例1：
某修理店只有一个修理工，要求提供服务的顾客到 达过程为Poisson流，平均4人/h; 修理时间服从负指 数分布，平均需要6min。 试求（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率； （4） 在店内的平均顾客数；（5）每位顾客在店内的平均 逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每 位顾客平均等待服务时间（8）顾客在店内等待时间 超过10min的概率
三、排队系统的分析
案例2： 假设在一个单座、男女皆宜的美发店中，到达间隔时间和服 务时间都服从指数分布。 和 的值分别为每小时2个和每 小时3个，
1、求系统到达稳态后，系统服务强度 ？
2、没有人到达概率，及达到1个、2个、3个人的概率？ 3、系统中平均顾客数？队列的平均长度？
三、排队系统的分析
三、排队系统的分析
例题。 到达病人数 到达的病人数n 0 1 2 3 4 5 大于等于6 合计 出现的次数fn 10 28 29 16 10 6 1 100
三、排队系统的分析
例题。 手术时间 完成手术时间t/h 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 大于1.2 合计 出现的次数ft 38 25 17 9 6 5 0 100
对于这种到达分布，在时间t内到达k个动态实体的概 率Vk(t)遵从泊松分布，即：
Vk (t ) e t
(t ) k k!
k 0,1
二、到达时间间隔和服务时间分布
3
爱尔朗分布
设v1,v2,…,vk是k个相互独立的随机变量，服从相同参数kλ的负 指数分布，那么T=v1+v2+…+vk的概率密度为：
案例： 解：
2 3
2 1 P0 1 1 1 3 3
Pn (1 ) n , n 1
1 2 2 P 1 ( 3 )( 3 ) 9
2 2 4 P2 ( 1 )( ) 3 3 27 8 2 3 P3 ( 1 )( ) 3 3 81
服务完了（离去）的概率t (t )
没有离去的概率就是1 t (t ) （3）多于一个顾客的到达或离去的概率
(t ) 是可以忽略的。
，
在时刻t+△t，系统中有n个顾客（n>0) 存在下列四种情况
情况 在时刻t顾客数 在区间（t, t+△t) 到达 离去 在时刻t顾客数
P0 1 n Pn 1 n 1 1
三、基本计算
1.队长（系统中平均顾客数）Ls
Ls = ∑ n Pn n=0 ∞ ∞ = ∑ nρn － ∑nρn+1 n=0 n=0 = ρ/(1-ρ)= λ/(μ-λ) (ρ=λ/μ)
∞
2.排队长 （系统中等待服务平均顾客 数） ———L q
三、排队系统的分析
系统的运行指标(p154)： 3 在系统中的平均顾客数（系统的期望值）
Ls

1


4 在队列中等待的平均顾客数（队列长度期望值）
2 Lq , 0 1 ( )
三、排队系统的分析
n n n
（A） Pn(t)· (1－t) · (1－ t） （B） Pn+1(t ) · (1－t) · t （C） Pn－ 1(t ) · t · (1－ t） （D） Pn(t ) · t · t 以上各式省略了t的无穷小项。
21
由此可得： Pn (t + t) = Pn(t) (1－t－ t）+ Pn+1 (t) t +Pn－1(t) · t+ o (t)
e t , t 0 B(t ) t0 0,
二、到达时间间隔和服务时间分布
1
定长分布
动态实体到达间隔的时间为常数 动态实体接受服务的时间为常数
二、到达时间间隔和服务时间分布
2
泊松分布
满足下列四个条件的到达分布称为泊松到达分布： 平稳性。 独立性。 普通性。 有限性
第六章 排队系统建模与仿真
一、排队系统的基本概念 二、到达时间间隔和服务时间分布 三、排队系统的分析
四、排队系统的仿真