令(t) L1 (sI A)1 ,则
其中：
x(s) L (t) x(0) L (t) Bu(s)
t
x(t) (t) x(0) (t )Bu( )d 0
(t) exp( At)为状态转移矩阵,则得线性状态方程的解析解：
u(t)
原连续模型 y f ( y,u,t)
y(t)
- ey(tk)≈0
+
h
u(tk ) 仿真模型 y f ( y,u,tk )
y(tk )
相似原理示意图
设系统模型为 y f ( y,u,t) ，其中 u(t) 为输入变量，y(t) 为系
统变量。令仿真时间间隔为h，离散化后的输入变量为 u(tk ) ，系 统变量为 y(tk ) ，其中 tk 表示 t kh。如果 u(tk ) u(tk )，y(tk ) y(tk )， 即 ey (tk ) y(tk ) y(tk ) 0 ，eu (tk ) u(tk ) u(tk ) 0 (对所有k＝0， 1，2…)，则可认为两模型等价。
时域离散相似法 频域离散相似法
3.2 连续系统仿真算法
3.2.1 线性连续系统仿真算法
3.2.1.2 线性连续系统仿真算法—离散相似法
x Ax Bu
sx(s) x(0) Ax(s) Bu(s) x(s) (sI A)1 x(0) (sI A)1 Bu(s)
3.1 离散化原理及要求
连续系统数字仿真算法： 数值积分法：单步、多步 离散相似法：适用范围较窄
注：数值积分方法采用递推方式进行计算，不同的方法会引 进不同的计算误差；为了提高计算精度，会增加运算量。对同一 种积分方法，为提高计算精度，可减小积分步距，但又降低了计 算速度。
计算精度和速度是常见的一对矛盾，也是数字仿真重要解决 的问题之一。
an2
a1

0
1
T

B
,C

0
,
0

1
0
G(s) C (s I A)1 B
(4) MIMO系统？
3.2 连续系统仿真算法
3.2.1 线性连续系统仿真算法
3.2.1.2 线性连续系统仿真算法—离散相似法 史密斯提出 离散相似法：就是将连续系统进行离散化处理，然后求得 与它等价的离散模型。 根据获得途径的不同，可分为两种：
本章目次
3.1离散化原理及要求
3.4纯延迟环节仿真模型
3.2连续系统仿真算法
3.5采样控制系统仿真方法 3.6间断特性仿真方法
3.3连续系统实时仿真算法 3.7 病态系统仿真方法
3.1 离散化原理及要求
在计算机上仿真面临的问题：数字计算机的数值及时间均具有 离散性，而被仿真系统的数值及时间均具有连续性。后者如何用 前者来实现？
数字计算机：从根本意义上讲，所进行的计算仅仅是“数字”计 算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方 面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离 散化，这样就只能得到离散时间点上系统的（离散数值）状态 （性能）。
连续系统模型：y f ( y,u,t) ，对微分方程的数值积分是通过某 种数值计算方法来实现的，任何一种计算方法只能是原积分的 一种近似。
3.2 连续系统仿真算法
3.2.1线性连续系统仿真算法
线性连续系统数学模型形式 离散相似法
3.2.2非线性连续系统仿真算法
龙格库塔法 亚当姆斯法 变步长法 仿真算法的选择与比较
3.2 连续系统仿真算法
3.2.1 线性连续系统仿真算法
3.2.1.1 线性连续系统数学模型的几种表示方法
(1) 微分方程
3.1 离散化原理及要求
实际上，要完全保证 eu (tk ) 0，ey (tk ) 0 是很困难的。
离散化引入的误差： 舍入误差
计算机字长有限
方法误差
算法误差、截断误差
3.1 离散化原理及要求
相似原理用于仿真时，对仿真算法有三个基本要求：
(1) 稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真 模型也应是稳定的。
(2) 准确性 有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：
绝对误差准则： ey (tk ) y(tk ) y(tk )
其中
相对误差推则： ey (tk ) 表示规定的误差量。

y(tk ) y是一步一步推进的，每一步计算所需 时间决定了仿真速度。
dny dt n

a1

d n1 y dt n1


an1

dy dt

an

y

b0

d n1u dt n1

b1

d n2u dt n2


bn2

du dt

bn1
u
(2) 传递函数
G(s)

Y(s) U(s)
b0 sn1 b1 sn2 sn a1 sn1
3.1 离散化原理及要求
连续系统仿真：从本质上是从时间、数值两个方面对原连续系统 /模型进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算， 由此得到离散模型来近似原连续模型。
如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为， 这是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。
3.1 离散化原理及要求
t
x(t) exp( A t)x(0) exp( A (t ))Bu( )d 0
第3章 连续系统仿真方法
哈尔滨工业大学控制与仿真中心
提要 连续系统广泛存在，而数字计算机具有离
散性的特点，如何在计算机上进行连续系统仿真？
本章讨论连续系统仿真的基本原理和方法， 首先介绍连续系统离散化原理及要求，然后研究 连续系统的经典仿真算法，进而讨论几类特殊连 续系统的仿真方法。
本章是系统建模与仿真的基础内容，并要求 在仿真实例上进行应用。
bn2 s bn1 an1 s an
3.2 连续系统仿真算法
3.2.1 线性连续系统仿真算法
3.2.1.1 线性连续系统数学模型的几种表示方法
(3) 状态方程
x Ax Bu

y

Cx
0 1 0
0
A
0

0






an
an1