第二章概率总结
一、知识点
1.随机试验的特点:
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会
出现哪一个结果．
2.分类
随机变量
（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结
果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等
或希腊字母ξ、η等表示。
）
离散型随机变量：连续型随机变量：
3.离散型随机变量的分布列
一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1, x2, ,x i , ,x n X取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表
为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
性质：①----------------------------------------------
②-------------------------------------------------．
二点分布
如果随机变量X的分布列为：
其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p 的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.
超几何分布
一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件, 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，
则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M
n
N
C C P X k k m C --===，其中
则称随机变量X 的分布列
,
为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的
总数、样本容量
条件概率
1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，
叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率
2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B
的交（或积）.记作D=A ∩B 或D=AB
3.条件概率计算公式:
例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，
求第二个又取到次品的概率.
相互独立事件
1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件
叫做相互独立事件
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
则有
如果事件A1，A2，…An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
即： P （A1·A2·…·An ）=P （A1）·P （A2）·…·P(An)
3解题步骤
说明（1）判断两事件A 、B 是否为相互独立事件，关键是看A （或B ）发生与否对B （或A ）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. （2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.
（3）如果A 、B 是相互独立事件，则A 的补集与B 的补集、A 与B 的补集、A 的补集与B 也都相互独立.
例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”
为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？
独立重复试验
1.定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2.说明：
①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何
一次试验中发生的概率都是一样的
②每次试验是在同样条件下进行；
③每次试验间又是相互独立的，互不影响.
二项分布
1：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中随机变量ξ的概率分布如下：
由于
k
n
k
k
n
q
p
C-
恰好是二项展开式
b
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a n n
n
r
r
n
r
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
=-
-
+
1
1
1
)
(
中的第k+1 项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，
解题步骤
例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
离散型随机变量的期望和方差
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称Eξ＝为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．说明：（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有
p1=p2=…=pn = ，Eξ=(x1+x2+…+xn)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值（3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取；
后者是一个随机变量.
D ξ= 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
说明：①、D ξ的算术平方根√D ξ—— 随机变量ξ的标准差，记作σξ； ②、标准差与随机变量的单位相同；
③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线， 我们称此曲线为概率密度曲线．
正态分布
若概率密度曲线就是或近似地是函数
)
,(,21
)(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e x f x σμσ
π的图像，
其中解析式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 则其分布叫正态分布，记作 f( x )的图象称为正态曲线
2,σξμξ==D E 基本性质：
①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．
②曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ时位于最高点.
③当时μ<x ，曲线上升；当时μ>x ，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时， 以x 轴为渐近线，向它无限靠近．
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． ⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于1.
3σ原则表格
)
,(2σμN。