淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计作者：吴杰学号：********** 系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032指导者：谭飞（高等数学教研室主任）评阅者：2007年5月连云港毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1 引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2 实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4 模型的建立与求解 (5)2．4．1 模型一的建立与求解 (5)2．4．2 模型二的建立与求解 (7)2．4．3 模型三的建立与求解 (9)2．5 模型的评价与推广 (11)结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)图1 罐体主要尺寸图 (4)图2 圆柱罐体剖面图 (5)图3 柱台罐体剖面图 (7)图 4 罐体受压性能图 (10)表 1 罐体主要尺寸 (4)表 2 罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。

1963 年，易拉罐在美国得以发明，它继承了以往罐形的造型设计特点，在顶部设计了易拉环。

这是一次开启方式的革命，给人们带来了极大的方便和享受，因而很快得到普遍应用。

到了1980年，欧美市场基本上全都采用了这种铝罐作为啤酒和碳酸饮料的包装形式。

经过30多年来的发展已在全球形成庞大的生产规模，供求关系已出现严重的失衡。

即使是易拉罐技术发展最快，消费水平最高的美国，近年来罐厂生产能力的提高比消费需求增长快，生产能力年增2%，而需求量年增1%，同样出现年生产能力超过需求10亿只的局面。

随着设计和生产技术的进步，铝罐趋向轻量化，从最初的60克降到了1970年的21～15克左右。

国内的易拉罐业始于80年代，当时年产仅24亿只，随着原罐厂进行重大技术改造的完成以及国外罐业投资者的资本输入，到目前全国易拉罐年生产能力超过100亿只。

近年来，我国铝质易拉罐产量逐年增长，年消耗量约为60～70亿只。

据业内专家预测，到2010年，全国易拉罐用铝将达到29万吨。

据中国饮料协会预测，到2010年，碳酸饮料产量将达到800万吨，如果罐装率按20％计算，易拉罐用量将达到124亿只。

尽管国内易拉罐需求量逐年上升，但供求关系严重失衡已是不可回避的事实。

为了生存，罐厂每年都出现“内耗”式的压价销售，这一方面导致罐厂本身处于亏损运营状态，另一方面阻碍了中国罐业向前发展。

竞争的结果，表面上看饮料、啤酒厂是受益者，但从长远看包装品制造商因无力进行技改大幅度降低成本，而作为使用包装品的饮料、啤酒业也难以使自己产品的包装成本降低下来因而阻碍了消费，最终也是受害者。

国外罐业者在降低成本方面主要有二条途径，一是规模经济。

国外罐业经过三十多年的发展，生产已形成集团化，具有相当大规模，在这样的基础上不断增置设备或提高生产速度再扩大规模是轻而易举的事。

而国内罐厂的规模与国外相比都较小，又由于近年来大多数罐厂处于亏损运营，因而再花费一大笔资金去再引进技术和设备扩大规模是较为困难。

此外在目前这种供求严重失衡的状况再扩大规模，无疑将需求关系进一步恶化。

显然，靠这一途径降低成本不适合国内现状。

其次是降低原辅材料的成本。

依靠科技进步降成本可以达到事半功倍。

罐业是集冶金、化工、机械、电子等行业科技于一体，降低原辅材料成本就是依靠这些行业的科技进步。

（1）减薄铝板材厚度。

（2）改变罐形。

根据国外某材料厂家报告，在美国的罐厂用铝板材料厚度每减薄0.01mm，每千罐可节省约0.22美元，易开盖口颈从404规格缩小至401规格可节省材料12.5%，罐从206口颈缩为204全套可节约材料用量6.7%，再降至202又可节约13.6%，最好水平到19.4%。

为了确保罐原有的各项性能指标要求，相应采用许多新工艺，诸如采用罐底二次成型技术，可使罐底耐压力提高26%。

在国外有许多罐业服务的专业性厂家，从铝板材、模具、电子化工设备等制造行业形成一条龙，每当罐业提出某一降低成本的课题，这些行业都积极进行研究开发，或由于行业内的市场竞争需要自身不断研究开发装备，为罐业降成本提供选择。

现代社会易拉罐受到不少厂家的青睐和消费者的欢迎，不少饮料，酒类产品都使用易拉罐来进行包装。

如：我们现在常见的可口可乐，青岛啤酒等。

因此我们就有必要对易拉罐的形状和尺寸进行优化设计。

当然对于生产少量的易拉罐来说节省的钱有限，但是对于大批量的生产易拉罐，便可以节省一笔很客观的资金。

因为厂家和商家所需要设计的易拉罐的容积是一定的（通常有250ml,245ml,330ml,355ml,500ml ）,目的就是要确定容器的长度，宽度和半径等。

使之优化达到用料最少的目的。

1．2 实际调研由上分析可知，首先需广泛地取样调查，用适合的测量工具对身边的实体模型的相关数据进行测量，获取大量不同种类易拉罐的一些必要参数。

在易拉罐的众多品种中，选取一些典型的，按照日常生产的不同需要和标准，归纳性的做一些研究分析。

3()()()11.9 3.1535013.2 2.652508.5 3.224516.8 3.250010.2 3.25330cm cm cm 品种高地面半径体积王子啤酒椰子汁旺仔牛奶露露饮料健力宝由上面实际测量并计算得到的数据，可以看出，这些不同牌子的易拉罐形状和尺寸各不相同，是什么导致上面情况发生的呢？1.3基本设计方案对易拉罐的设计，经营者总是考虑让成本最低。

如：设计一个体积固定为V 的圆柱形易拉罐，原料厚度一定，什么样的设计方案最优？下面从几种不同的标准来考虑设计方案。

第一种标准：根据制造过程中消耗原料的多少来判别优劣，即易拉罐最优设计方案应使易拉罐具有的最小表面S 。

分析 设易拉罐的高为h ，底面半径为r 。

由圆柱的体积公式h r V 2π=，得2r V h π=。

又易拉罐的表面积rh r S ππ222+= ……(1) 将2rV h π=代入（1）式得 r V r S /222+=π ……(2) 由设计要求知，体积V 是常数，半径r 是变量，表面积S 是r 的函数。

故设计方案转化为数学问题：当r 取何值时，函数S 取最小值？ 则3232223232V rV r V r r V r V r S πππ=+⋅≥++=， 当且仅当r V r =22π，即32πV r =时，易拉罐具有的表面积3223V s π=，此时易拉罐的高r h 2=，也就是说，设计成等边圆柱时，消耗原料最少。

比如旺仔牛奶易拉罐的设计应符合这一标准。

但是在实际生活中，我们所看到的易拉罐为何不全是等边圆柱形的呢？第二种标准：考虑到做上、下底面和侧面所用材料的价格不同，易拉罐最优设计方案应使易拉罐具有最小的用材价格。

若设上、下底面单位面积的造价为1λ，侧面的价格为2λ（1λ≠2λ），则做一个易拉罐所需材料的价格为rh r y πλπλ22221⋅+⋅=。

要使其具有最少的价格，则()212223y r rh rh πλλλπ⋅=⋅++≥当且仅当2122r rh λλ=，即212λλr h ⋅=时价格最少。

若122λλ=，则王子啤酒易拉罐、健力宝易拉罐的设计应符合这一标准。

第三种标准是：根据制造过程中焊接口的工作量的多少判别优劣，即易拉罐最优设计方案应该使焊缝长度最短。

分析 焊缝长度函数32243224V r V r r r V r L ππππππ≥++=+=， 当且仅当22rV r ππ=，即322πV r =，取得最小值是343V π，此时易拉罐的高r h π2=。

比如椰子汁易拉罐、露露饮料易拉罐的设计应符合这一标准。

因此在不同的优化标准下，设计方案是不同的。

对于生产工艺较为简单的情形，我们可以采用上述基本设计方案来实现，但对于生产工艺高科技含量较大的情形，仅用上述基本设计方案考虑问题远远不够！事实上，饮料的包装设计牵涉面非常广泛，而目前市场上出现了“两片式易拉罐”，与传统的易拉罐相比，“两片式易拉罐”的特点和优势是：传统的易拉罐是“三片式”，即由罐底、罐身、罐盖三部分组成，而且罐身上还有一条焊缝，而“两片式”的罐身则是一个整体，再加上一个盖子就行了。

因为它没有焊缝，因此不怕泄漏，更有利于饮料的保质；“两片式”的制造技术更先进，生产速度更快，产量更高，比如一条“三片式”的生产线，年产量只有5千万至1亿罐，而“两片式”则高达5亿至6亿罐，于是制造成本将更低。

本文将着重研究此类易拉罐的最优化设计（以可口可乐易拉罐为例），它更具有现实意义。

2可口可乐易拉罐的优化设计首先，用适合的测量工具对可口可乐易拉罐进行进一步测量，得到充分的相关数据。

其次，把可口可乐易拉罐看成一个圆柱体来进行设计，这样可以将其转化为二元函数求极值问题，用Lagrange 乘子法来解决。

再次，将可口可乐易拉罐形状想象成上部为圆台，下部为圆柱，这更接近可口可乐易拉罐的实际形状，但比仅将可口可乐易拉罐看成一个圆柱体来进行设计多了两个变量（缩颈的高度ih和其水平方向的夹角 ）。

该模型属于多元非线性规划问题，可借助于Lingo 数学软件来解决。

最后通过对可口可乐易拉罐的受压和本身材料的抗轴向承压力和压强，底部弯曲形状等方面进行综合考虑。

2．1模型的假设下面就先对所要做模型做一些必要的假设：（1）可口可乐易拉罐采用“两片式”流程生产。

（2）易拉罐侧面的厚度均匀分布，处处相等。

易拉罐各部分的材料，性能都是相同的。

（3）在模型一的设计中不考虑易拉罐侧面和上底面衔接出的材料计量。

（4）在模型一、模型二的设计中不考虑上下凸凹面带来的影响。

（5）不考虑易拉罐内部气压对形状和尺寸产生的影响。

（6）对易拉罐测量时产生的误差较小，可以忽略不计，且测量数据精确到小数点后两位。

2．2数据测量以355毫升的可口可乐为例，先用精确度为0.02mm的游标卡尺测量罐体的高度h，以及D1和D2。

再将其剖析测出顶，底，侧面的厚度。

如图1所示：图1 罐体主要尺寸图具体数据如表1所示：名称符号公称尺寸（单位：mm）罐体高度h122.52罐体外径1D66.02缩颈内经2D57.40翻边宽度B 2.22侧底铝皮厚度b0.14顶盖铝皮厚度a0.40缩颈坡角到底的高度1h111.322．3符号说明V ——产家或产商要求所设计易拉罐的容积R ——易拉罐侧面内半径的设计值r ——易拉罐缩颈内半经的设计值h ——易拉罐总高度的设计值1h ——易拉罐正圆柱的高度α——易拉罐缩颈部的水平倾角k ——易拉罐缩颈坡度的斜率b ——易拉罐侧面壁的厚度β——易拉罐顶盖的厚度与其他厚度的比值F ——易拉罐存放和运输产生的轴向承压力2．4 模型的建立与求解2．4．1 模型一的建立与求解首先将易拉罐看成一个圆柱体，如图2所示：图 2圆柱罐体剖面图最优化设计要求易拉罐体积一定时，确立它的设计内径R 2和高度h ，使制作材料最少。