∴四边形 EGBM 是矩形，
∴ EM BG 100 米， BM EG 20.8 米． 在 RtAEM 中， ∵ AEM 27 ， ∴ AM EM • tan 27 100 0.51 51米， ∴ AB AM BM 51 20.8 71.8米．
故选 B．
20 ，
【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三 角形是解答此题的关键．
7．如图，点 O 为△ABC 边 AC 的中点，连接 BO 并延长到点 D,连接 AD、CD，若 BD=12， AC=8，∠AOD＝120°，则四边形 ABCD 的面积为（ ）
A．2 3
B．2 2
C． 10
D． 24 3
【答案】D
【解析】
【分析】
分别过点 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 M、N，通过题意可求出 AM、CN 的长度，可计
BF=PC=3-x，进而可得出 AF=1+x，在 Rt△DAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利用余弦
的定义即可求出 cos∠ADF 的值．
【详解】
解：∵矩形纸片 ABCD ，点 P 在 BC 边上，将 CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，
根据折叠性质，可得：△DCP≌△DEP ， ∴.DC=DE=4， CP= EP， 在△OEF 和△OBP 中
3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 的中点，将△ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，EF 为折痕，则 sin∠BED 的值是（ ）
A． 5 3
B． 3 5
C． 2 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据翻折变换的性质得到 DEF AEF ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性
【详解】
解：连接 CO 并延长交⊙O 于点 D，连接 AD，
由 CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°， ∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧 AC，
∴∠B=∠D，即 sinB=sinD= 2 ， 5
∵半径 AO=5， ∴CD=10，
∴ sin D AC AC 2 ， CD 10 5
∴AC=4， 故选：C. 【点睛】 本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直 角是解题的关键.
解得： x 3 ， 4
sin BED sin CDF CF 3 ． DF 5
故选：B． 【点睛】 本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性 质，涉及面较广，但难易适中．
4．如图，矩形纸片 ABCD， AB 4 ， BC 3，点 P 在 BC 边上，将 CDP 沿 DP 折 叠，点 C 落在点 E 处， PE 、 DE 分别交 AB 于点 O 、 F ，且OP OF ，则 cos ADF
的值为（ ）
A． 11 13
B． 13 15
C． 15 17
D． 17 19
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得出 DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP= OF 可得出△OEF≌
AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出 0E=OB、EF=BP，设 EF=x，则 BP=x、DF=4-x、
9．如图， O 是 ABC 的外接圆， AD 是 O 的直径，若 O 的半径是 4， sin B 1 ，则线段 AC 的长是（ ）．
4
A．2 【答案】A
B．4
C． 3 2
D．6
【解析】
【分析】
连结 CD 如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90 ，∠D＝∠B，则 sinD＝sinB＝ 1 ，然后在 4
解得: x= 3 5
∴DF=4-x= 17 5
∴cos∠ADF= AD 15 DF 17
故选: C.
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 AF=1+x，求出 AF 的长度是解题的关键．
5．如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 AB＝BD，则 tanD 的值为（ ）
长．由矩形的判定定理得出四边形 EGBM 是矩形，故可得出 EM BG ， BM EG ，再
由锐角三角函数的定义求出 AM 的长，进而可得出结论．
【详解】
解：过点 E 作 EM AB 与点 M，延长 ED 交 BC 于 G，
∵斜坡 CD 的坡度（或坡比） i 1: 2.4， BC CD 52 米，
Rt△ACD 中利用∠D 的正弦可计算出 AC 的长．
【详解】
连结 CD，如图，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ACD＝90 ， ∵∠D＝∠B， ∴sinD＝sinB＝ 1 ，
4 在 Rt△ACD 中，∵sinD＝ AC ＝ 1 ，
AD 4 ∴AC＝ 1 AD＝ 1 ×8＝2．
44
故选 A．
【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的 弦是直径．也考查了解直角三角形．
得 AD＝ 1 AB，进而可求得 AE 的值．
2
AD
【详解】
解：∵ CE 平分 ACB ，
∴点 E 到 ACB 的两边距离相等，
设点 E 到 ACB 的两边距离位 h，
则 S△ACE＝ 1 AC·h，S△BCE＝ 1 BC·h，
2
2
∴S△ACE：S△BCE＝ 1 AC·h： 1 BC·h＝AC：BC，
继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【详解】
如图，连接 OC，
∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴sinE=sin30°= 1 . 2
故选 A.
A． 2 3
【答案】D
B． 3 3
C． 2 3
D． 2 3
【解析】
【分析】 设 AC＝m，解直角三角形求出 AB，BC，BD 即可解决问题． 【详解】 设 AC＝m， 在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝ 3 AC＝ 3 m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+ 3 m，
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．
∴正三角形的边长 3 2 ． sin 60
∴圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 2，
∴底面周长为 2 ∴侧面积为 1 2 2 2 ，∵底面积为 r2 ，
2 ∴全面积是 3 ．
故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
DC BC ．在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶 端 A 点的仰角 AEF 为 27 （点 A，B，C，D，E 在同一平面内）．斜坡 CD 的坡度（或坡 比） i 1: 2.4，那么建筑物 AB 的高度约为（ ） （参考数据 sin 27 0.45， cos 27 0.89 ， tan 27 0.51）
sin∠COD CN CN 3 ， CO 4 2
∴AM= 2 3 ，CN= 2 3 ，
∴ S△ABD
BD AM 2
12 2 2
3 12
3,
S△BCD
BD CN 2
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12 2 2
3 12
3，
∴ S四边形ABCD =S△ABD S△BCD 12 3 12 3 24 3
故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
∴tan∠ADC＝ AC ＝
m
＝2﹣
CD 2m 3m
3．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
6．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 点出 发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，
算三角形 ABD 和三角形 CBD 的面积，相加即为四边形 ABCD 的面积.
【详解】
解：分别过点 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 M、N，
∵点 O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°，
∴ sin∠AOB AM AM 3 ， AO 4 2
2
2
又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE， ∴AE：BE＝AC：BC，
∵在 Rt ABC 中， ACB 90 ， tan B 3 ， 4
∴AC：BC＝3:4，
∴AE：BE＝3:4
∴AE＝ 3 AB， 7
∵ CD 为 AB 边上的中线，
∴AD＝ 1 AB， 2
初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案
一、选择题
1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若∠A＝30°，则 sin∠E 的值为（ ）
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
D． 3 3
【答案】A
【解析】
【分析】
首先连接 OC，由 CE 是⊙O 切线，可证得 OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，
A．65.8 米