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中考数学锐角三角函数综合练习题含答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=,2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到1cm )? 【答案】【解析】过A 作AF CD ⊥于F ,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值,又可证四边形ABCE 为平行四边形,故有EC=AB=25cm ,再再根据DC=DE+EC 进行解答即可.2.如图,已知点从出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动,以为顶点作菱形,使点在第一象限内,且;以为圆心,为半径作圆.设点运动了秒,求:(1)点的坐标(用含的代数式表示);(2)当点在运动过程中,所有使与菱形的边所在直线相切的的值.【答案】解:(1)过作轴于,,,,,点的坐标为.(2)①当与相切时(如图1),切点为,此时,,,.②当与,即与轴相切时(如图2),则切点为,,过作于,则,,.③当与所在直线相切时(如图3),设切点为,交于,则,,.过作轴于,则,,化简,得,解得,,.所求的值是,和.【解析】(1)过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长,从而求得点的坐标⊙P与菱形OABC的边所在直线相切,则可与OC相切;或与OA相切;或与AB相切,应分三种情况探讨:①当圆P与OC相切时,如图1所示,由切线的性质得到PC垂直于OC,再由OA=+t,根据菱形的边长相等得到OC=1+t,由∠AOC的度数求出∠POC为30°,在直角三角形POC中,利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op,表示出OC,等于1+t列出关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;②当圆P与OA,即与x轴相切时,过P作PE垂直于OC,又PC=PO,利用三线合一得到E为OC的中点,OE为OC的一半,而OE=OPcos30°,列出关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;③当圆P与AB所在的直线相切时,设切点为F,PF与OC交于点G,由切线的性质得到PF垂直于AB,则PF垂直于OC,由CD=FG,在直角三角形OCD中,利用锐角三角函数定义由OC表示出CD,即为FG,在直角三角形OPG中,利用OP表示出PG,用PG+GF表示出PF,根据PF=PC,表示出PC,过C作CH垂直于y轴,在直角三角形PHC中,利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,综上,得到所有满足题意的t的值.3.如图,某公园内有一座古塔AB,在塔的北面有一栋建筑物,某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为45°,此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米(B、E、C在一条直线上),求塔AB 的高度.(结果精确到0.01米)参考数据:sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan32°≈0.6249,2 1.4142≈.【答案】塔高AB 约为32.99米.【解析】【分析】过点D 作DH ⊥AB ,垂足为点H ,设AB =x ,则 AH =x ﹣3,解直角三角形即可得到结论.【详解】解:过点D 作DH ⊥AB ,垂足为点H .由题意,得 HB = CD = 3,EC = 15,HD = BC ,∠ABC =∠AHD = 90°,∠ADH = 32°.设AB = x ,则 AH = x – 3.在Rt △ABE 中,由 ∠AEB = 45°,得 tan tan451AB AEB EB ∠=︒==. ∴ EB = AB = x .∴ HD = BC = BE + EC = x + 15.在Rt △AHD 中,由 ∠AHD = 90°,得 tan AH ADH HD ∠=. 即得 3tan3215x x -︒=+. 解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒. ∴ 塔高AB 约为32.99米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.4.在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点()0,0O ,点()3,0A ,点()0,4C ,连接OB ,以点A 为中心,顺时针旋转矩形AOCB ,旋转角为()0360αα︒<<︒,得到矩形ADEF ,点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .(Ⅰ)如图,当点D 落在对角线OB 上时,求点D 的坐标;(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下,AB 与DE 交于点H .①求证BDE DBA ∆≅∆;②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时,FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525;(Ⅱ)①证明见解析;②点H 的坐标为(3,258);(Ⅲ)60α=︒或300︒.【解析】【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥,根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长,根据矩形的性质可得AB 、OB 的长,在Rt △OAM 中,利用∠BOA 的余弦求出OM 的长,由旋转的性质可得OA=AD ,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ,在Rt △ODN 中,利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长,即可得答案;(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ,根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=,利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ;②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ,BE=AD ,即可证明△BHE ≌△DHA ,可得DH=BH ,设AH=x ,在Rt △ADH 中,利用勾股定理求出x 的值即可得答案;(Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB ,由性质性质可得∠BAF=α,分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况,根据FB=FA 可得OA=OB ,利用勾股定理求出FO 的长,由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ,,点()04C ,, ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形,∴AB=OC=4,∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中,225OB OA AB +=,过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中,OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===, ∴9OM 5= ∵AD=OA ,AM ⊥OB , ∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中:DN 4sin BOA OD 5∠==,cos ∠BOA=ON OD =35, ∴72DN 25=,54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的,∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒,BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =,∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅,得BEH DAH ∠∠=,BE AD 3==,又∵BHE DHA ∠∠=,∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ,设AH x =,则DH BH 4x ==-,在Rt ΔADH 中,222AH AD DH =+,即()222x 34x =+-,得25x 8=,∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB ,当0<α≤180°时,∵点B 与点F 是对应点,A 为旋转中心,∴∠BAF 为旋转角,即∠BAF=α,AB=AF=4,∵FA=FB ,FO ⊥AB ,∴OA=12AB=2, ∴cos ∠BAF=OA AF =12, ∴∠BAF=60°,即α=60°,当180°<α<360°时, 同理解得:∠BAF′=60°,∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述:α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识,正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.5.如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D 从点A 出发,在AB 边上以每秒1个单位的速度向点B 运动,连结CD ,作点A 关于直线CD 的对称点E ,设点D 运动时间为t (s ).(1)若△BDE 是以BE 为底的等腰三角形,求t 的值;(2)若△BDE为直角三角形,求t的值;(3)当S△BCE≤92时,所有满足条件的t的取值范围(所有数据请保留准确值,参考数据:tan15°=2【答案】(1)2;(2秒或3秒;(3)6﹣【解析】【分析】(1)如图1,先由勾股定理求得AB的长,根据点A、E关于直线CD的对称,得CD垂直平分AE,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE,所以AD=DE=BD,由,可得t 的值;(2)分两种情况:①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,根据t的值;②当∠EDB=90°时,如图3,根据△AGC≌△EGD,得AC=DE,由AC∥ED,得四边形CAED 是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3;(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,①当△BCE在BC的下方时,②当△BCE在BC的上方时,分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.【详解】解:(1)如图1,连接AE,由题意得:AD=t,∵∠CAB=90°,∠CBA=30°,∴BC=2AC=6,∴∵点A、E关于直线CD的对称,∴CD垂直平分AE,∴AD=DE,∵△BDE是以BE为底的等腰三角形,∴DE=BD,∴AD=BD,∴t=AD=2;(2)△BDE为直角三角形时,分两种情况:①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,∵CD垂直平分AE,∴AD=DE=t,∵∠B=30°,∴BD=2DE=2t,∴AB=3t=33,∴t=3;②当∠EDB=90°时,如图3,连接CE,∵CD垂直平分AE,∴CE=CA=3,∵∠CAD=∠EDB=90°,∴AC∥ED,∴∠CAG=∠GED,∵AG=EG,∠CGA=∠EGD,∴△AGC≌△EGD,∴AC=DE,∵AC∥ED,∴四边形CAED是平行四边形,∴AD=CE=3,即t=3;综上所述,△BDE为直角三角形时,t的值为3秒或3秒;(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,①当△BCE在BC的下方时,过B作BH⊥CE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时,此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92,易得△ACG≌△HBG,∴CG=BG,∴∠ABC=∠BCG=30°,∴∠ACE=60°﹣30°=30°,∵AC=CE,AD=DE,DC=DC,∴△ACD≌△ECD,∴∠ACD=∠DCE=15°,tan∠ACD=tan15°=t3=23,∴t=6﹣3由图形可知:0<t<6﹣3时,△BCE的BH越来越小,则面积越来越小,②当△BCE在BC的上方时,如图3,CE=ED=3,且CE⊥ED,此时S△BCE=12CE•DE=12×3×3=92,此时t=3,综上所述,当S△BCE≤92时,t的取值范围是6﹣33≤t≤3.【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点P是⊙C外一点,连接CP交⊙C于点Q,点P关于点Q的对称点为P′,当点P′在线段CQ上时,称点P为⊙C“友好点”.已知A(1,0),B(0,2),C(3,3)(1)当⊙O的半径为1时,①点A,B,C中是⊙O“友好点”的是;②已知点M在直线y=﹣33x+2 上,且点M是⊙O“友好点”,求点M的横坐标m的取值范围;(2)已知点D(23,0),连接BC,BD,CD,⊙T的圆心为T(t,﹣1),半径为1,若在△BCD 上存在一点N,使点N是⊙T“友好点”,求圆心T的横坐标t的取值范围.【答案】(1)①B;②0≤m3(2)﹣3t<3【解析】【分析】(1))①根据“友好点”的定义,OB=<2r=2,所以点B是⊙O“友好点”;②设M(m,﹣33m+2 ),根据“友好点”的定义,OM=223222m m⎛⎫+-+≤⎪⎪⎝⎭,由此求解即可;(2)B(0,2),C(3,3),D(23,0),⊙T的圆心为T(t,﹣1),点N是⊙T“友好点”,NT≤2r=2,所以点N只能在线段BD上运动,过点T作TN⊥BD于N,作TH∥y轴,与BD交于点H.易知∠BDO=30°,∠OBD=60°,NT=32HT,直线BD:y=﹣33x+2,可知H(t,﹣3 3t+2),继而可得NT=﹣12t+332,由此可得关于t的不等式,解出t的范围即可.【详解】(1)①∵r=1,∴根据“友好点”的定义,OB=<2r=2,∴点B是⊙O“友好点”,∵OC=2233+=32>2r=2,∴点C不是⊙O“友好点”,A(1,0)在⊙O上,不是⊙O“友好点”,故答案为B;②如图,设M(m 3+2 ),根据“友好点”的定义,∴OM223222m m⎛⎫+-+≤⎪⎪⎝⎭,整理,得2m2﹣3≤0,解得0≤m3∴点M的横坐标m的取值范围:0≤m3;(2)∵B (0,2),C (3,3),D (23,0),⊙T 的圆心为T (t ,﹣1),点N 是⊙T “友好点”, ∴NT ≤2r =2,∴点N 只能在线段BD 上运动,过点T 作TN ⊥BD 于N ,作TH ∥y 轴,与BD 交于点H .∵tan ∠BDO =3323OB OD ==∴∠BDO=30°, ∴∠OBD =60°, ∴∠THN=∠OBD=60°, ∴NT =HT•sin ∠THN=32HT , ∵B (0,2),D 30), ∴直线BD :y =﹣33x +2, ∵H 点BD 上, ∵H (t ,﹣33t +2), ∴HT =﹣33t +2﹣(﹣1)=﹣33t +3, ∴NT 333+3)=﹣12t 33∴﹣12t 33, ∴t ≥﹣3当H 与点D 重合时,点T 的横坐标等于点D 的横坐标,即t =3, 此时点N 不是“友好点”, ∴t <3故圆心T 的横坐标t 的取值范围:﹣4+33≤t <33. 【点睛】本题是圆的综合题,正确理解“友好点”的意义,熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键.7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的边AB 在x 轴上,点B 坐标(﹣6,0),点C 在y 轴正半轴上,且cos B =35,动点P 从点C 出发,以每秒一个单位长度的速度向D 点移动(P 点到达D 点时停止运动),移动时间为t 秒,过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q . (1)求点D 坐标;(2)求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式,并求出S 的最大值; (3)在直线l 移动过程中,是否存在t 值,使S =320ABCDS 菱形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)点D 的坐标为(10,8).(2)S 关于t 的函数关系式为S =24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩,S 的最大值为503.(3)3或7. 【解析】 【分析】(1)在Rt △BOC 中,求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标;(2)分两种情况分析:①当0≤t ≤4时和②当4<t ≤10时,根据面积公式列出解析式,再求函数的最值;(3)分两种情况分析:当0≤t ≤4时,4t =12,;当4<t ≤10时,22201233t t -+= 【详解】解:(1)在Rt △BOC 中,∠BOC =90°,OB =6,cos B =35, 10cos OBBC B∴== 228OC BC OB ∴=-=∵四边形ABCD 为菱形,CD ∥x 轴,∴点D 的坐标为(10,8).(2)∵AB =BC =10,点B 的坐标为(﹣6,0), ∴点A 的坐标为(4,0). 分两种情况考虑,如图1所示. ①当0≤t ≤4时,PQ =OC =8,OQ =t ,∴S =12PQ •OQ =4t , ∵4>0,∴当t =4时,S 取得最大值,最大值为16;②当4<t ≤10时,设直线AD 的解析式为y =kx +b (k ≠0), 将A (4,0),D (10,8)代入y =kx +b ,得:4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩,解得:4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴直线AD 的解析式为41633y x =-. 当x =t 时,41633y t =-, 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t =5时,S 取得最大值,最大值为503. 综上所述:S 关于t 的函数关系式为S =24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩,S 的最大值为503.(3)S 菱形ABCD =AB •OC =80. 当0≤t ≤4时,4t =12, 解得:t =3; 当4<t ≤10时,222033tt -+=12, 解得:t 1=5(舍去),t 2=. 综上所述:在直线l 移动过程中,存在t 值,使S =320ABCD S 菱形,t 的值为3或.【点睛】考核知识点:一次函数和二次函数的最值问题.数形结合,分类讨论是关键.8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=7,AC=2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A,B的对应点分别为A',B′),射线CA′,CB′分別交直线m于点P,Q.(1)如图1,当P与A′重合时,求∠ACA′的度数;(2)如图2,设A′B′与BC的交点为M,当M为A′B′的中点时,求线段PQ的长;(3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA′,CB′的延长线上时,试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形PA′B′Q的最小面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)60°;(2)PQ=72;(3)存在,S四边形PA'B′Q=33【解析】【分析】(1)由旋转可得:AC=A'C=2,进而得到BC3=∠A'BC=90°,可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°,∠ACA'=60°;(2)根据M为A'B'的中点,即可得出∠A=∠A'CM,进而得到PB3=32=,依据tan∠Q=tan∠A3=BQ=BC3=2,进而得出PQ=PB+BQ72=;(3)依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ3-S四边形PA'B'Q最小,即S△PCQ最小,而S△PCQ12=PQ×BC32=PQ,利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3,即可得到结论.【详解】(1)由旋转可得:AC =A 'C =2. ∵∠ACB =90°,AB 7=,AC =2,∴BC 3=.∵∠ACB =90°,m ∥AC ,∴∠A 'BC =90°,∴cos ∠A 'CB 3'2BC A C ==,∴∠A 'CB =30°,∴∠ACA '=60°;(2)∵M 为A 'B '的中点,∴∠A 'CM =∠MA 'C ,由旋转可得:∠MA 'C =∠A ,∴∠A =∠A 'CM ,∴tan ∠PCB =tan ∠A 32=,∴PB 32=BC 32=. ∵∠BQC =∠BCP =∠A ,∴tan ∠BQC =tan ∠A 32=,∴BQ =BC23⨯=2,∴PQ =PB +BQ 72=; (3)∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-,∴S 四边形PA 'B 'Q 最小,即S △PCQ 最小,∴S △PCQ 12=PQ ×BC 32=PQ , 取PQ 的中点G . ∵∠PCQ =90°,∴CG 12=PQ ,即PQ =2CG ,当CG 最小时,PQ 最小,∴CG ⊥PQ ,即CG 与CB 重合时,CG 最小,∴CG min 3=,PQ min =23,∴S △PCQ 的最小值=3,S 四边形PA 'B 'Q =33-;【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用,解题时注意:旋转变换中,对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.9.如图,在ABC △中,10AC BC ==,3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点(不与点,A C 重合),以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P与边BC相切时,求P的半径;()2联结BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;()3在()2的条件下,当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409;(2)()25880010320x x xy xx-+=<<+;(3)1025-【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=R10R-=45,即可求解;(2)PD∥BE,则EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+-=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=GP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=35,sinC=HPCP=R10R-=45,解得:R=409;(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,则BH=ACsinC=8, 同理可得:CH=6,HA=4,AB=45,则:tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+, DA=255x ,则BD=45-255x ,如下图所示,PA=PD ,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β, tanβ=2,则55 EB=BDcosβ=(525)525x ,∴PD ∥BE ,∴EB PD =BFPF,即:2248805x x x y xy--+=,整理得:y=)2x 8x 800x 103x 20-+<<+;(3)以EP 为直径作圆Q 如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q时弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴5设圆的半径为r,在△ADG中,AD55AG=2r,5551,则:55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.10.我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅,在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°,若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米,求条幅AE的长度.(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知:四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF 中,45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF 中,30ECF ∠=︒ tan EFECF CF∴∠= 3123EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.。

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