浦城县2008—2009学年第一学期高二数学期末考试卷（文科）参考公式：1、选择的检验指标（统计量）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；2、独立性检验临界值： 0.400.250.150.100. 050. 025 0.010 0. 005 0. 0010.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828第Ⅰ卷 （选择题共50分）一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上. 1、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ▲ ）A. 若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B. 若11<<-x ，则12<xC. 若1>x 或1-<x ，则12>x D. 若1≥x 或1-≤x ，则12≥x 解：D.2、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ▲ )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a 解：D.3、设p ∶13x -<<，q ∶5x >，则⌝p 是q 的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：B.4、抛物线24y x =上一点M 到准线的距离为3，则点M 的横坐标x 为（ ▲ ）A.?1B.?2C.?3D.?4解：24P =，2P =，32P x +=，解得2x =.选B.5、以下程序输入2，3，4运行后，输出的结果是（ ▲ ） INPUT a ，b ，c a ＝b b ＝c c ＝aPRINT a ，b ，cA ．2 3 4B ．3 2 4C ．3 4 3D ．3 4 2 解：C.6、下图是2008年“皇华之春”晚会上，七位评委为某舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）。

A．85，1.6B．84，1.6C．84，4.84D．85，4解：A.7、阅读下列程序框图，该程序输出的结果是（）．A.49 B.29 C.59 D.39解：39729=，选D.8、f (x)定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足()()xf x f x'+≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有( ▲)A．bf (b)≤af (a) B．bf (a)≤af (b) C．af (a)≤bf (b) D．af (b)≤bf (a)解：A.9、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( ▲)A. B. C. D.解：2a==，∴3e=，选B.10、若函数3()3f x x x a=-+有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（▲）A．[2,2]-B．(2,2)-C．(,1)-∞-D．(1,)+∞解：∵函数3()3f x x x a=-+有三个不同的零点，∴33a x x=-+.设3()3g x x x=-+，2()330g x x'=-+=，解得1x=±，∴max(1)2y g==、min(1)2y g=-=-，∴22a-<<.选B.第Ⅱ卷（非选择题共100＋5分）二、填空题: 本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡对应的位置上。

11、两个整数490和910的最大公约数是 ▲ ． 解：70.12、在边长为1的正方形ABCD 中任取一点P ，则ABP ∆的面积大于14的概率是 （ ▲ ） A ．14 B. 34 C. 12 D.23解：C.13、已知)0(),1(2)(2f f x x x f ''+=则＝ ▲ .解：—4.14、已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为(10,0)F ，两条渐近线的方程为43y x=±，则该双曲线的标准方程为 ▲ .解：∵渐近线的方程为43y x=±，∴设双曲线方程为22(0)916x y λλ-=>， 则221916x y λλ-=，∴291625100c λλλ=+==，得4λ=，∴2213664x y -=.15、切线?与曲线3y x =-相切于点A （－1，1），则切线?的方程是 ▲ 。

解：设切点为（x0，y0），则23k x =-，∴切线为0232y x x =-+，∵切点在曲线、在切线上，∴033032x x -=-+，解得0011x y =-⎧⎨=⎩，3k =-，即切线为320x y +-=. 三、解答题: 本大题共6小题，共80＋5分，附加题可计入总分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并填在答题卡对应的位置上。

16、 (本小题满分13分)下表为某班英语及数学成绩的分布．学生共有50人，成绩分1~5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人．将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为x ，数学成绩为y （注：没有相同姓名的学生）.（I ） 求a b +的值； （II ） 求1x =的概率； （III ）求33x y ≥=且的概率.解：（I ）3a b +=；…………4分（II ）1311(1)5010P x ++===；…………8分（III ）84(3,3)5025P x y ≥===．…………13分17、 (本小题满分13分)椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 的一个焦点)0,2(1-F ，28a c =（c 为椭圆的半焦距）．(1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为直线8x =上一点，A 为椭圆C 的左顶点，连结AM 交椭圆于点P ，求AP PM的取值范围；解：(1)由题意得，2=c ，82=c a 得，12,1622==b a ， ∴所求椭圆方程为1121622=+y x ．…………6分设P 点横坐标为0x ，则884x PM AM -=+，∵440≤<-x ， ∴00081211442x PM PM AP AM PM x x -===-≥-++．∴AP PM 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.……13分 18、 (本小题满分13分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x .记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）.(Ⅰ)写出y 与x 的函数关系式；(Ⅱ)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 解: (Ⅰ)改进工艺后，每件产品的销售价为()201x +，月平均销售量为()21a x -件，则月平均利润()()2120115y a x x =-⋅+-⎡⎤⎣⎦（元），∴y 与x 的函数关系式为()235144y a x x x =+-- ()01x << .…………6分 (Ⅱ)由()2542120y a x x'=--=得112x =，23x =-（舍）， ……………8分当102x <<时0y '>；112x <<时0y '<，∴函数()235144y a x x x=+-- ()01x <<在12x =取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为12012⎛⎫+ ⎪⎝⎭30=元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.………………13分 19、 (本小题满分13分)过点（0，4）、斜率为－1的直线与抛物线22(0)y px p =>交于两点A ，B ，如果OA OB ⊥（O 为原点）求P 的值及抛物线的焦点坐标.解: 直线方程为y ＝－x ＋4，联立方程42y x y px =-+⎧⎨=⎩，消去y 得，22(4)160x p x -++=.…………6分设A(11,x y )，B(22,x y )，得212122(4),16,4(2)640x x p x x p +=+=∆=+->…9分所以:1212(4)(4)8y y x x p=-+-+=-，p>0.由已知OA OB ⊥可得12x x ＋12y y ＝0，从而16－8p ＝0，得p ＝2. …………12分所以抛物线方程为y2＝4x ，焦点坐标为F(1，0). …………13分 20、(本小题满分14分)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，得到如下数据: 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高x(厘米) 192 164 172 177 176 159 171 166 182 166 脚长y( 码 ) 48 38 40 43 44 37 40 39 46 39 序 号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高x(厘米) 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170 脚长y( 码 )43414043404438423941(Ⅰ)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成下面的22⨯联黑框列表: (3分)高 个 非高个 合 计 大 脚 非大脚 12 合 计20(Ⅱ) 若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差:将一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求: ①抽到12号的概率；②抽到“无效序号(超过20号)”的概率. (6分)(Ⅲ) 根据题(1)中表格的数据，若按99.5%的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系?（可用数据482＝2304、582＝3364 、682＝4624 、6147137644⨯⨯⨯= 、51212120⨯⨯⨯= ）(5分) 解: (Ⅰ)表格为:合 计 大 脚 7 非大脚 13 合 计614…………3分(说明:黑框内的三个数据每个1分，黑框外合计数据有错误的暂不扣分)(Ⅱ) ①抽到12号的概率为141369P ==………………6分②抽到“无效序号(超过20号)”的概率为261366P ==…………………9分(Ⅲ) 提出假设H0: 人的脚的大小与身高之间没有关系. ……………10分根据上述列联表可以求得2220(51212)8.802614713K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.…………12分当H0成立时，27.879K >的概率约为0.005，而这里8.802＞7.879， 所以我们有99.5%的把握认为: 人的脚的大小与身高之间有关系. …………14分 21、(本小题满14＋5分)设函数)1ln()(2++=x b x x f ，其中0≠b .（1）若12b =-，求)(x f 在[1,3]的最小值；（2）如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；（3）『附加题』是否存在最小的正整数N ，使得当N n ≥时，不等式311lnn n n n +->恒成立.解：（1）由题意知，)(x f 的定义域为),1(+∞-，12b =-时，由2/122212()2011x x f x x x x +-=-==++，得2x =（3x =-舍去），当[1,2)x ∈时，/()0f x <，当(2,3]x ∈时，/()0f x >， 所以当[1,2)x ∈时，()f x 单调递减；当(2,3]x ∈时，()f x 单调递增，所以min ()(2)412ln 3f x f ==-…………7分（2）由题意2/22()2011b x x bf x x x x ++=+==++在),1(+∞-有两个不等实根， 即2220x x b ++=在),1(+∞-有两个不等实根，设()g x =222x x b ++，则480(1)0b g ∆=->⎧⎨->⎩，解之得102b <<；…………14分 （3）对于函数())1ln(2+-=x x x f ，令函数())1ln()(233++-=-=x x x x f x x h则()1)1(31123232/+-+=++-=x x x x x x x h ，()0),0[/>+∞∈∴x h x 时，当 所以函数()x h 在),0[+∞上单调递增，又),0(,0)0(+∞∈∴=x h 时，恒有()0)0(=>h x h即)1ln(32++<x x x 恒成立.取),0(1+∞∈=n x ，则有3211)11ln(n n n ->+恒成立. 显然，存在最小的正整数N ＝1，使得当N n ≥时，不等式3211)11ln(n n n ->+恒成立…………17分。