平面向量讲义§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1.向量:既有________,又有________得量叫向量.2.向量得几何表示:以A 为起点,B 为终点得向量记作________.3.向量得有关概念:(1)零向量:长度为__________得向量叫做零向量,记作______. (2)单位向量:长度为______得向量叫做单位向量.(3)相等向量:__________且__________得向量叫做相等向量.(4)平行向量(共线向量):方向__________得________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作________. ②规定:零向量与__________平行. 考点一 向量得有关概念例1 判断下列命题就是否正确,并说明理由.①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;②若AB →＝DC →,则A 、B 、C 、D 四点就是平行四边形得四个顶点;③在平行四边形ABCD 中,一定有AB →＝DC →;④若向量a 与任一向量b 平行,则a ＝0;⑤若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c ;⑥若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c 、变式训练1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a>b ;(2)若向量|a |＝|b |,则a 与b 得长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意|a |＝|b |,且a 与b 得方向相同,则a ＝b ; (4)向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 方向相同或相反. 考点二 向量得表示方法例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点.(1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD →|、 考点三 相等向量与共线向量例3 如图所示,O 就是正六边形ABCDEF 得中心,且OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c 、(1)与a 得模相等得向量有多少个？(2)与a 得长度相等,方向相反得向量有哪些？ (3)与a 共线得向量有哪些？(4)请一一列出与a ,b ,c 相等得向量. §2、2 平面向量得线性运算1.向量得加法法则 (1)三角形法则如图所示,已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB →＝a ,BC →＝b ,则向量________叫做a与b 得与(或与向量),记作__________,即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________、上述求两个向量与得作图法则,叫做向量求与得三角形法则.对于零向量与任一向量a 得与有a ＋0＝________＋______＝______、 (2)平行四边形法则如图所示,已知两个不共线向量a ,b ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则O 、A 、B 三点不共线,以______,______为邻边作__________,则对角线上得向量________＝a ＋b ,这个法则叫做两个向量求与得平行四边形法则.2.向量加法得运算律(1)交换律:a ＋b ＝______________、(2)结合律:(a ＋b )＋c ＝______________________、 3、 相反向量(1)定义:如果两个向量长度________,而方向________,那么称这两个向量就是相反向量.(2)性质:①对于相反向量有:a ＋(－a )＝______、②若a ,b 互为相反向量,则a ＝________,a ＋b ＝______、 ③零向量得相反向量仍就是__________.4、 向量得减法(1)定义:a －b ＝a ＋(－b ),即减去一个向量相当于加上这个向量得___________________________________________________________________.(2)作法:在平面内任取一点O ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则向量a －b ＝__________、如图所示. (3)几何意义:如果把两个向量得始点放在一起,则这两个向量得差就是以减向量得终点为________,被减向量得终点为________得向量.例如:OA →－OB →＝________、 5.向量数乘运算实数λ与向量a 得积就是一个__________,这种运算叫做向量得__________,记作________,其长度与方向规定如下: (1)|λa |＝__________、(2)λa (a ≠0)得方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时与a 方向相同当 时与a 方向相反;特别地,当λ＝0或a ＝0时,0a ＝________或λ0＝________、6.向量数乘得运算律 (1)λ(μa )＝________、(2)(λ＋μ)a ＝____________、 (3)λ(a ＋b )＝____________、特别地,有(－λ)a ＝____________＝________; λ(a －b )＝____________、 7.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______________. 8.向量得线性运算向量得____、____、________运算统称为向量得线性运算,对于任意向量a 、b ,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )＝__________________、 考点一 运用向量加法法则作与向量例1 如图所示,已知向量a 、b ,求作向量a ＋b 、变式训练1 如图所示,已知向量a 、b 、c ,试作与向量a ＋b ＋c 、考点二 运用向量加减法法则化简向量 例2 化简: (1)BC →＋AB →; (2)DB →＋CD →＋BC →; (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →、(4)(AB →－CD →)－(AC →－BD →). (5)(BA →－BC →)－(ED →－EC →);(6)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).变式训练2 如图,在平行四边形ABCD 中,O 就是AC 与BD 得交点.(1)AB →＋AD →＝________; (2)AC →＋CD →＋DO →＝________; (3)AB →＋AD →＋CD →＝________; (4)AC →＋BA →＋DA →＝________、变式训练3 如图所示,O 就是平行四边形ABCD 得对角线AC 、BD 得交点,设AB →＝a , DA →＝b ,OC →＝c ,求证:b ＋c －a ＝OA →、考点三 向量得共线例3设e 1,e 2就是两个不共线得向量,若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线,则( )A.k ＝0B.k ＝1C.k ＝2D.k ＝12变式训练4 已知△ABC 得三个顶点A ,B ,C 及平面内一点P ,且PA →＋PB →＋PC →＝AB →,则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上 考点四:三点共线例4两个非零向量a 、b 不共线.(1)若A B →＝a ＋b ,B C →＝2a ＋8b ,C D →＝3(a －b ),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线.变式训练5 已知向量a 、b ,且AB →＝a ＋2b ,BC →＝－5a ＋6b ,CD →＝7a －2b ,则一定共线得三点就是( )A.B 、C 、DB.A 、B 、CC.A 、B 、DD.A 、C 、D变式训练6 已知平面内O ,A ,B ,C 四点,其中A ,B ,C 三点共线,且OC →＝xOA →＋yOB →, 则x ＋y ＝________、§2、3 平面向量得基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理(1)定理:如果e 1,e 2就是同一平面内得两个______向量,那么对于这一平面内得______向量a ,__________实数λ1,λ2,使a ＝____________________________、(2)基底:把________得向量e 1,e 2叫做表示这一平面内________向量得一组基底.2、两向量得夹角与垂直(1)夹角:已知两个__________a 与b ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则________＝θ (0°≤θ≤180°),叫做向量a 与b 得夹角.①范围:向量a 与b 得夹角得范围就是______________. ②当θ＝0°时,a 与b ________、 ③当θ＝180°时,a 与b ________、(2)垂直:如果a 与b 得夹角就是________,则称a 与b 垂直,记作______________. 3.平面向量得坐标表示(1)向量得正交分解:把一个向量分解为两个__________得向量,叫作把向量正交分解. (2)向量得坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同得两个____________i ,j 作为基底,对于平面内得一个向量a ,有且只有一对实数x ,y 使得a ＝____________,则________________叫作向量a 得坐标,________________叫作向量得坐标表示.(3)向量坐标得求法:在平面直角坐标系中,若A (x ,y ),则OA →＝________,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →＝________________________、 4.平面向量得坐标运算(1)若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ＋b ＝________________,即两个向量与得坐标等于这两个向量相应坐标得与.(2)若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a －b ＝________________________,即两个向量差得坐标等于这两个向量相应坐标得差.(3)若a ＝(x ,y ),λ∈R ,则λa ＝________,即实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标.5.两向量共线得坐标表示 设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2).(1)当a ∥b 时,有______________________.(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时,有____________________.即两向量得相应坐标成比例.6.若P 1P →＝λPP 2→,则P 与P 1、P 2三点共线.当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得内部,特别地λ＝1时,P 为线段P 1P 2得中点; 当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得延长线上; 当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得反向延长线上. 考点一 对基底概念得理解例1 如果e 1,e 2就是平面α内两个不共线得向量,那么下列说法中不正确得就是( )①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内得所有向量;②对于平面α内任一向量a ,使a ＝λe 1＋μe 2得实数对(λ,μ)有无穷多个;③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2);④若存在实数λ,μ使得λe 1＋μe 2＝0,则λ＝μ＝0、A.①②B.②③C.③④D.②变式训练1 设e 1、e 2就是不共线得两个向量,给出下列四组向量:①e 1与e 1＋e 2; ②e 1－2e 2与e 2－2e 1; ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1; ④e 1＋e 2与e 1－e 2、其中能作为平面内所有向量得一组基底得序号就是________.(写出所有满足条件得序号)考点二 用基底表示向量例2 如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB ＝2CD ,M 、N 分别就是DC 与AB 得中点,若AB →＝a ,AD →＝b 试用a ,b 表示DC →、BC →、MN →、变式训练2 如图,已知△ABC 中,D 为BC 得中点,E ,F 为BC 得三等分点,若AB →＝a ,AC →＝b ,用a ,b 表示AD →,AE →,AF →、考点三 平面向量基本定理得应用例3 如图所示,在△ABC 中,点M 就是BC 得中点,点N 在边AC 上,且AN ＝2NC ,AM 与BN 相交于点P ,求证:AP ∶PM ＝4∶1、变式训练3 如图所示,已知△AOB 中,点C 就是以A 为中点得点B 得对称点,OD →＝2DB →,DC 与OA 交于点E ,设OA →＝a ,OB →＝b 、(1)用a 与b 表示向量OC →、DC →;(2)若OE →＝λOA →,求实数λ得值.考点四 平面向量得坐标运算例4 已知平面上三点A (2,－4),B (0,6),C (－8,10),求(1)AB →－AC →;(2)AB →＋2BC →;(3)BC →－12AC →、变式训练4 已知a ＝(－1,2),b ＝(2,1),求:(1)2a ＋3b ;(2)a －3b ;(3)12a －13b 、考点五 平面向量得坐标表示例5 已知a ＝(－2,3),b ＝(3,1),c ＝(10,－4),试用a ,b 表示c 、变式训练5 设i 、j 分别就是与x 轴、y 轴方向相同得两个单位向量,a ＝i －(2m －1)j ,b ＝2i ＋m j (m ∈R ),已知a ∥b ,求向量a 、b 得坐标. 考点六 平面向量坐标得应用例6 已知▱ABCD 得顶点A (－1,－2),B (3,－1),C (5,6),求顶点D 得坐标.变式训练 6 已知平行四边形得三个顶点得坐标分别为(3,7),(4,6),(1,－2),求第四个顶点得坐标.考点七 平面向量共线得坐标运算例7 已知a ＝(1,2),b ＝(－3,2),当k 为何值时,k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们就是同向还就是反向？变式训练7 已知A (2,1),B (0,4),C (1,3),D (5,－3).判断AB →与CD →就是否共线？如果共线,它们得方向相同还就是相反？ 考点八 平面向量得坐标运算例8 已知点A (3,－4)与点B (－1,2),点P 在直线AB 上,且|AP →|＝2|PB →|,求点P 得坐标.变式训练8 已知点A (1,－2),若向量AB →与a ＝(2,3)同向,|AB →|＝213,求点B 得坐标. 考点九 利用共线向量求直线得交点例9 如图,已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),求AC 与OB 得交点P 得坐标.变式训练9 平面上有A (－2,1),B (1,4),D (4,－3)三点,点C 在直线AB 上,且AC →＝12BC →,连接DC ,点E 在CD 上,且CE →＝14ED →,求E 点坐标.§2、4 平面向量得数量积1.平面向量数量积(1)定义:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量______________叫做a 与b 得数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b ＝|a ||b |cos θ,其中θ就是a 与b 得夹角. (2)规定:零向量与任一向量得数量积为____.(3)投影:设两个非零向量a 、b 得夹角为θ,则向量a 在b 方向得投影就是____________,向量b 在a 方向上得投影就是______________. 2.数量积得几何意义 a ·b 得几何意义就是数量积a ·b 等于a 得长度|a |与b 在a 得方向上得投影________________得乘积.3.向量数量积得运算律(1)a ·b ＝________(交换律);(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律);(3)(a ＋b )·c ＝______________________(分配律). 4.平面向量数量积得坐标表示若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝____________、 即两个向量得数量积等于________________. 5.两个向量垂直得坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2), 则a ⊥b ⇔________________、 6.平面向量得模(1)向量模公式:设a ＝(x 1,y 1),则|a |＝________________、(2)两点间距离公式:若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →|＝________________________、 7.向量得夹角公式设两非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),a 与b 得夹角为θ,则cos θ＝________＝__________、考点一 求两向量得数量积例1 已知|a |＝4,|b |＝5,当(1)a ∥b ;(2)a ⊥b ;(3)a 与b 得夹角为30°时,分别求a 与b得数量积.变式训练1 已知正三角形ABC 得边长为1,求: (1)AB →·AC →;(2)AB →·BC →;(3)BC →·AC →、 考点二 求向量得模长例2 已知|a |＝|b |＝5,向量a 与b 得夹角为π3,求|a ＋b |,|a －b |、变式训练2 已知|a |＝|b |＝1,|3a －2b |＝3,求|3a ＋b |、 考点三 向量得夹角或垂直问题例3 设n 与m 就是两个单位向量,其夹角就是60°,求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 得夹角. 变式训练3 已知|a |＝5,|b |＝4,且a 与b 得夹角为60°,则当k 为何值时,向量k a －b 与a ＋2b 垂直？考点四 向量得坐标运算例4 已知a 与b 同向,b ＝(1,2),a ·b ＝10、(1)求a 得坐标;(2)若c ＝(2,－1),求a (b ·c )及(a ·b )c 、变式训练4 若a ＝(2,3),b ＝(－1,－2),c ＝(2,1),则(a ·b )·c ＝________;a ·(b ·c )＝________、考点五 向量得夹角问题例5 已知a ＝(1,2),b ＝(1,λ),分别确定实数λ得取值范围,使得:(1)a 与b 得夹角为直角; (2)a 与b 得夹角为钝角; (3)a 与b 得夹角为锐角.变式训练5 已知a ＝(1,－1),b ＝(λ,1),若a 与b 得夹角α为钝角,求λ得取值范围. 考点六 向量数量积坐标运算得应用例6 已知在△ABC 中,A (2,－1)、B (3,2)、C (－3,－1),AD 为BC 边上得高,求|AD →|与点D 得坐标.变式训练6 以原点与A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ,∠B ＝90°,求点B 与AB →得坐标.§2、5 平面向量应用举例1.向量方法在几何中得应用(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)得等价条件:a ∥b (b ≠0)⇔________⇔____________、(2)证明垂直问题,如证明四边形就是矩形、正方形等,常用向量垂直得等价条件:a ⊥b ⇔__________⇔__________、(3)求夹角问题,往往利用向量得夹角公式cos θ＝_______________＝_______________、(4)求线段得长度或证明线段相等,可以利用向量得线性运算、向量模得公式:|a |＝______、 2.力向量力向量与前面学过得自由向量有区别.(1)相同点:力与向量都既要考虑________又要考虑________.(2)不同点:向量与________无关,力与________有关,大小与方向相同得两个力,如果________不同,那么它们就是不相等得. 3.向量方法在物理中得应用(1)力、速度、加速度、位移都就是________.(2)力、速度、加速度、位移得合成与分解就就是向量得________运算,运动得叠加亦用到向量得合成.(3)动量m ν就是______________.(4)功即就是力F 与所产生位移s 得________.考点一 三角形问题例1 点O 就是三角形ABC 所在平面内得一点,满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →,则点O 就是△ABC 得( )A.三个内角得角平分线得交点B.三条边得垂直平分线得交点C.三条中线得交点D.三条高得交点 变式训练1 在△ABC 中,已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7),则BC 边得中线AD 得长就是( )A.2 5 B 、52 5 C.3 5 D 、725变式训练2 若O 就是△ABC 所在平面内一点,且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,则△ABC 得形状就是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形变式训练3 设平面上有四个互异得点A 、B 、C 、D ,已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0,则△ABC 得形状一定就是__________. 考点二 向量得计算例2 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3,|BC →|＝4,|CA →|＝5、则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝______、变式训练4 如图,在△ABC 中,点O 就是BC 得中点,过点O 得直线分别交直线AB 、AC 于不同得两点M 、N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 得值为__________________.考点三 向量得应用例3 两个大小相等得共点力F 1,F 2,当它们夹角为90°时,合力大小为20 N,则当它们得夹角为120°时,合力大小为( )A.40 NB.10 2 NC.202ND.10 3 N变式训练5 在水流速度为4千米/小时得河流中,有一艘船沿与水流垂直得方向以8千米/小时得速度航行,则船实际航行得速度得大小为________.。