第4讲 极化恒等式
一．选择题（共3小题）
1．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值为( ) A ．3-
B ．6-
C ．2-
D ．83
-
【解析】解：以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则(0A ，，(2,0)B -，(2,0)C ，
设(,)P x y ，则(PA x =-，)y -，(2,)PB x y =---，(2,)PC x y =--，
所以则()PA PB PC +的最22(2)(23)(2)242x x y y x y =--+--=-+
222[2(3]x y =+-；
所以当0x =，y =()PA PB PC +取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选：B ．
2．在等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，M ，N （不与A ，C 重合）为AC 边上的两个动点，且满足||2MN =BM BN 的取值范围为( ) A ．3
[2
，2]
B ．3
(2
，2)
C ．3
[2
，2)
D ．3
[2
，)+∞
【解析】解：以等腰直角ABC ∆的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系， 如图所示；则(0,0)B ，直线AC 的方程为2x y +=； 设(,2)M a a -，则01a <<， 由||2MN =(1,1)N a a +-；
∴(,2)BM a a =-，(1,1)BN a a =+-；
∴2213(1)(2)(1)2222()22
BM BN a a a a a a a =++--=-+=-+
． 01a <<，∴当12a =
时，BM BN 取得最小值32
， 且0a =或1时，2BM BN =，无最大值；
∴BM BN 的取值范围是3
[2
，2)．
故选：C ．
3．正ABC ∆P 在其外接圆上运动，则AP PB 的取值范围是( ) A ．33[,]22
-
B ．31[,]22
-
C ．13[,]22
-
D ．11[,]22
-
【解析】解：如图所示．
由正ABC ∆P 在其外接圆上运动．
120AOB ∴∠=︒，1R =
=．
∴()()AP PB OP OA OB OP =--
2
OP OB OP OA OB OA OP =--+
cos 1cos120cos POB AOP =∠--︒+∠
1
2cos cos()2AOB AOP POB =∠∠-∠-
1cos()2
AOP POB =-∠-∠-
， 1cos()1AOP POB -∠-∠，
∴31[,]22
AP PB ∈-．
故选：B ．
二．填空题（共7小题）
4．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的最小值为 7
3
- ．
【解析】解：建立平面坐标系如图所示：
则(1,0)A -，(1,0)B ，C ，设(,)P x y ，
(1,)PA x y =---，(1,)PB x y =--，()PC x y =-，
2(233)PB PC x y +=-，
∴222217(2)3233()3(63
PA PB PC x x y x y +=+-+=++-．
∴当16x =-
，y =时，(2)PA PB PC +取得最小值为7
3
-．
故答案为：7
3
-．
5．如图，扇形AOB 的圆心角为90︒，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，
则OP OQ 的取值范围为 1，1] ．
【解析】解：根据题意，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴建立坐标系， 如图：设POA θ∠=，则P 的坐标为(cos ,sin )θθ，090θ︒︒，
(1,0)A ，(0,1)B ，直线AB 的方程为1x y +=，
设(,)Q m n ，
由11(cos )(sin )122m n θθ+++=，sin 1cos n m θθ
-=-， 解得1sin m θ=-，1cos n θ=-，
即(1sin ,1cos )Q θθ--，
cos (1sin )sin (1cos )sin cos 2sin cos OP OQ θθθθθθθθ=-+-=+-，
令sin cos 45)t θθθ=+=+︒，
由45[45θ+︒∈︒，135]︒，sin(45)θ+︒∈，1]，
45)[1t θ=+︒∈，
又22sin cos 1t θθ=-，
2215
1()24
OP OQ t t t =-++=--+在[1t ∈递减，
可得1t =，取得最大值1，t =1，
则OP OQ 的范围是1，1]．
故答案为：1，1]．
6．在ABC ∆中，60A ∠=︒，M 是AB 的中点，若||2AB =，||BC =D 在线段AC 上运动，则DB DM 的最小值为 23
16
． 【解析】解：
DB DA AB =+，1
2
DM DA AM DA AB =+=+
， 故1
()()2
DB DM DA AB DA AB =++ 2
213
22
DA AB AB DA =+
+
23
||22||cos602DA DA =++⨯⨯︒
223323
||||2(||)2416
DA DA DA =-+=-+，
设AC x =，由余弦定理可得222222cos60x x =+-︒， 整理得2280x x --=，解得4x =或2x =-（舍去）， 故有||[0DA ∈，4]，由二次函数的知识可知当3
||4
DA =时， 2323(||)416DA -+取最小值23
16
故答案为：
2316
7．已知圆O 的直径2AB =，C 是该圆上异于A 、B 的一点，P 是圆O 所在平面上任一点，则()PA PB PC +的最小值为 1
2
- ．
【解析】解：如图所示， 延长PO 到点D ，使得OD OP =， 则22PA PB PD PO +==． ||||1PO PC +=，
∴12|||PO ，
化为1||||
4
PO PC ． ∴11()22||||242
PA PB PC PO PC PO PC +=-=-⨯
=-． 故答案为：1
2
-．
8．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且2AP =，则PB PC 的
最大值为 10+ 【
解
析
】
解
：
设
D 为BC 中点，则
2
()()()102PB PC PA AB PA AC PA PA AB AC AB AC AD PA =++=+++=+，
由2222(2)2()AD BC AB AC +=+得，37||AD =
∴当PA 与AD 同向时AD PA 最大，最大值为∴PB PC 最大值10+
故答案为：10+
9．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(0)x y a a
-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，
则OP FP ⋅的取值范围为 [3)++∞ ．
【解析】解：由题意可得2c =，1b =，故a (P m ，n )，则2
213m n -=，3m
．
(OP FP m ⋅=，n )(2m ⋅+，22
2
2
24
)2212133
m n m m n m m m m =++=++-=+- 关于
3
4
m =-对称，故OP FP ⋅在)+∞上是增函数，当m 时有最小值为3+
故OP FP ⋅的取值范围为[3)++∞，
故答案为：[3)++∞．
10．如图：已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且120AOB ∠=︒，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<，则CM CN 的取值范围是 3
[4
-，0) ．
【解析】解：
(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<，
∴()OC OB OA OB λ-=-即BC BA λ=，
A ∴，
B ，
C 三点共线，
01λ<<，120AOB ∠=︒，
C ∴在线段AB 上，且1
||[,1)2
OC ∈，
∴2
()()()CM CN OM OC ON OC OM ON OC OM ON OC =--=-++
21||OC =-+
则CM CN的取值范围是
3 [,0)
4
-
故答案为：
3 [,0)
4
-。