解得：a1＝1，d＝1， 所以an＝n，
所以
，
Tn=
(2)若an＋1≥λTn，即n＋1≥λ
，
∴λ≤
，
又
＝n＋ ＋2≥4，当且仅当n＝ ，即n＝1时取
等号.任意n∈N*，不等式成立，故λ≤4，
∴λ的最大值为4.
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3 4 47
3n2 3n1
1(1 1 ) n 3 3n1 3n1
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
小试身手
应该怎样拆项？
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数列)
裂项法求和
例：求数列 1 ,1, 1, 1 , , 1 , (n N * ) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n
的前n项和
提示： a n 1 2 1 nn (n 2 1 )2 (1 nn 1 1 )
S n 2 [ 1 1 2 1 2 1 3 1 n n 1 1 2 1 n 1 1 n 2 n 1
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
A.1
B.
C.
D.
，则S5等于 ()
解析：∵an＝
，
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋裂项法求和
求和
111 1 14 47 7 10(3 n2 )3 (n1 )
1
提示：
1 ( 1 1 )
(3n2)(3n1) 3 3n2 3n1
∴
1 1
1
14 47
(3n2)(3n1)
1[(1 1)(1 1) ( 1 1 )]
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
n
1
1
(2)(2n1)12n112
(1 1) 2n1 2n1
(3) 1 n(n 2)
1
2
(1 n
1) n2
(4)
1 n1
n
n1
n
注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和