(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( × )
(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦
点坐标是
������ 4 ,0
.( ×
)
-8-
知识梳理 考点自测
2.(2017 湖南邵阳一模,文 5)点 A(2,1)到抛物线 y2=ax 准线的距
离为 1,则 a 的值为( C )
考点五
-16-
又解抛析物: (1线)双y2曲=2线px���4���(2p-x>20=)1的的准两线条方渐程近是线x方=-程���2���, 是 y=±2x. 故 A,B 两点的纵坐标分别是 y=±p.
∵△AOB 的面积为 1,
∴1
2
·���2���·2p=1.
∵p>0,∴p=√2.
-17-
考点一
=
3
1
=12.
4
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
-10-
抛物线的定义及其应用
例 1(1)(2017 安徽模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛
物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( C )
A.√22
B.√2
C.3√2 2
D.2√2
(2)(2017 辽宁大连双基测试)若抛物线 y2=4x 上一点 P 到其焦点
考点二
考点三
考点四
考点五
(2)由题意,过点 A,B 分别作准线的垂线,垂足为 A',B',如图所示,
根据抛物线定义得|BB'|=|BF|.
又|BC|=2|BF|=2|BB'|,
则∠BCB'=30°,即∠AFx=60°,
所以直线 AB 的斜率为 k=tan∠AFx=√3.
又点 F
������ 2
,0
,所以直线 AB 的方程为 y=√3
离心率).
2016 全国Ⅲ,文 20
2.理解数形结 2017 全国Ⅰ,文 20
合的思想. 2017 全国Ⅱ,文 12
3.了解抛物线 2017 全国Ⅲ,文 20
的简单应用.
线的定义、几何图形和标准方
程及其简单的几何性质; 2.高考考查的热点内容:圆锥 曲线中对抛物线的考查仅次
于椭圆,出现频率高,各种题型 都有,主要有求抛物线的方程 或已知方程求参数,求抛物线 中的弦长、面积,以及直线与抛 物线综合问题等,也经常结合 椭圆或双曲线进行综合考查; 3.题目的难度:抛物线的客观 题难度中等偏低,抛物线与直 线、其他圆锥曲线及导数结合
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考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
对点训练2(1)(2017宁夏银川模拟)直线l过抛物线x2=2py(p>0)的
焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴
的距离是1,则此抛物线方程是( B )
-7-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一
定是抛物线. ( × )
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.
(× )
(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).
(× )
5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交抛物
线C于A,B两点,则|AB|=
12 .
解析:由已知得焦点 F 为
3 4
,0
,p=32.
设 α 为弦 AB 所在直线的倾斜角,则 α=30°,
由弦长公式|AB|=x1+x2+p=si2n���2���������,得|AB|=si2n���2���������
(5)∠CFD=90°.
2.设 P(x0,y0)为圆锥曲线 C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 上的任意一
点,则过点
P
的切线方程为
Ax0x+Bx
0
y +y 0 2
x
+Cy0y+Dx
0 +x+Ey 0 +y +F=0.
2
2
3.抛物线 y2=2px(p>0)的通径长为 2p.
知识梳理 考点自测
9.7 抛物线
-2-
考纲要求
五年考题统计 命题规律及趋势
1.高考考查的重点内容:抛物
1.掌握抛物线
的定义、几何 2013 全国Ⅰ,文 8
图形和标准 2014 全国Ⅰ,文 10
方程,掌握其 2014 全国Ⅱ,文 10
简单的几何 2015 全国Ⅰ,文 5
性质(范围、对 2016 全国Ⅱ,文 5
称性、顶点、 2016 全国Ⅰ,文 20
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
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对点训练1(1)(2017河南濮阳一模,文9)抛物线y2=2px(p>0)的焦点
为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于
M,N两点,则|MN|=( D )
A.30 B.25 C.20 D.15
(2)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是
(1)x1x2=p42,y1y2=-p2. (2)弦长|AB|=x1+x2+p=������������2������p2������(α 为弦 AB 所在直线的倾斜角). (3)S△AOB=2���p������������2���α(α 为弦 AB 所在直线的倾斜角). (4)以 AB 为直径的圆与准线相切.
F
0,-
p 2
知识梳理 考点自测
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标准方程
准线方程 范围 开口方向
y2=2px
y2=-2px x2=2py x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
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知识梳理 考点自测
3.抛物线的几何性质
标准方程
y2=2px
y2=-2px x2=2py x2=-2py
(p>0)
(p>0) (p>0) (p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点 对称轴 焦点 离心率
O (0,0)
y=0
F
p 2
,0
e= 1
F
-
p 2
,0
x=0
F
0,
p 2
代入抛物线方程得|yP|=2,
∴△OFP 的面积为 S=12·|OF|·|yP|=12×1×2=1.
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
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思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题? 解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距 离相互转化. 2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离 |PF|=|x|+���2���或|PF|=|y|+���2���.
出题难度偏高.
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知识梳理 考点自测
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等 的 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线 的 准线 . 2.抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程 为 y2=2px(p>0) ; (2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程 为 y2=-2px(p>0) ; (3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程 为 x2=2py(p>0) ; (4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程 为 x2=-2py(p>0) .
抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴
的交点,则∠MKO=( C )
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析:由题意,得点 M 的坐标为
������ 2
,������
.
∵K
-
������ 2
,0
,∴kKM=1.∴∠MKO=45°,故选 C.
知识梳理 考点自测
直线 PF 与抛物线 C 的一个交点,若������������=4������������,则|QF|=( C )
A.72
B.52
C.3
D.2
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考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
解析: (1)圆 x2+y2-6x=0 的圆心(3,0),焦点 F(3,0),抛物线 y2=12x,
设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l 的方程为 y=2x-6, 联立 ������2 = 12������,得 x2-9x+9=0,
方程为 y=2√2(x-1),与抛物线方程联立可得 2x2-5x+2=0,所以点 B 的 横坐标为12,纵坐标为-√2,S△AOB=12×1×(2√2 + √2)=3√22.
(2)设 P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1. 又点 P 到焦点 F 的距离为 2,
∴由定义知点 P 到准线的距离为 2. ∴xP+1=2,∴xP=1.
A.-14或-112
B.14
或