2019年高考数学押题卷及答案(共七套)2019年高考数学押题卷及答案(一)一.填空题(每题5分,共70分) 1. 复数(2)i i +的虚部是2.如{}23,2a a a ∈-,则实数a 的值等于3. 若函数1(),10()44,01xx x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩,则4(log 3)f = 4.等比数列}{n a 中,n S 表示前n 顶和,324321,21a S a S =+=+,则公比q 为 5.在集合{}1,2,3中先后随机地取两个数,若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数,则“个位数与十位数不相同”的概率是 .6.设,αβ为互不重合的平面,m ,n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则;②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β,则α∥β; ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥则;④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则,其中所有正确命题的序号是 . 7.已知0>xy ,则|21||21|xy y x +++的最小值为 8.已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数,且函数()8+=x f y 为偶函数,则给出如下四个判断:正确的有①()()76f f > ②()()96f f > ③()()97f f > ④()()107f f > 9.已知角A 、B 、C 是ABC 的内角,,,a b c 分别是其对边长,向量2(23sin,cos ),22A Am =,(cos,2)2An =-,m n ⊥,且2,a =3cos 3B =则b = 10.直线1x y a b +=通过点(cos ,sin )M αα,则2211a b+的取值范围为 11.已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=,且()f x 在区间(,)63ππ有最小值,无最大值,则ω=__________.12. 在区间[],1t t +上满足不等式3311x x -+≥的解有且只有一个,则实数t ∈13. 在△ABC 中,1tan,0,()022C AH BC AB CA CB =⋅=⋅+=,H 在BC 边上,则过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为14. 已知数列{}n a 满足:1a m =(m 为正整数),1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时,若47a =,则m 所有可能的取值为二.解答题(请给出完整的推理和运算过程,否则不得分)15.(14分)设函数2()2(03)f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ,最小值为n , 其中0,a a R ≠∈.(1)求m 、n 的值(用a 表示);(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xoy 中的原点o 重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点(1,3)A m n -+.求tan()3πβ+的值.16. (14分)在直角梯形PBCD 中,,2,42D C BC CD PD π∠=∠====,A 为PD 的中点,如下左图。
将PAB 沿AB 折到SAB 的位置,使SB BC ⊥,点E 在SD 上,且13SE SD =,,M N 分别是线段,AB BC 的中点,如右图.(1)求证:SA ⊥平面ABCD ; (2)求证:平面AEC ∥平面SMN .17. (14分)如图,在一条笔直的高速公路MN 的同旁有两个城镇A B 、,它们与MN 的距离分别是km a 与8km(8)a >,A B 、在MN 上的射影P Q 、之间距离为12km ,现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接,若普通公路造价为50万元/km ;而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元.设计部门提交了以下三种修路方案:方案①:两城镇各修一条普通公路到高速公路,并各修一个立交出入口;方案②:两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K ,并 在K 点修一个公共立交出入口;方案③:从A 修一条普通公路到B ,再从B 修一条普通公路到 高速公路,也只修一个立交出入口.请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案.18. (16分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和圆222:O x y b +=O :,过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B .(1)(ⅰ)若圆O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率e 的值; (ⅱ)若椭圆上存在点P ,使得090APB ∠=,求椭圆离心率e 的取值范围;(2)设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点,M N ,问当点P在椭圆上运动时,2222a b ON OM +是否为定值?请证明你的结论.19. (16分)对于数列}{n a ,定义数列}{1n n a a -+为}{n a 的“差数列”.(I )若}{n a 的“差数列”是一个公差不为零的等差数列,试写出}{n a 的一个通项公式;(II )若,21=a }{n a 的“差数列”的通项为n 2,求数列}{n a 的前n 项和n S ; (III )对于(II )中的数列}{n a ,若数列}{n b 满足8*1212(),n n n a b b n N +=-⋅∈且47b =-,求:①数列}{n b 的通项公式;②当数列}{n b 前n 项的积最大时n 的值.20. (16分)已知函数()f x 的图像在[a,b]上连续不断,定义:1()min{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈,2()max{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈,其中min{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最小值,max{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最大值,若存在最小正整数k ,使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立,则称函数)(x f 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”(1)若()cos ,[0,]f x x x π=∈,试写出1()f x ,2()f x 的表达式;(2)已知函数2(),[1,4],f x x x =∈-试判断)(x f 是否为[-1,4]上的“k 阶收缩函数”,如果是,求出对应的k ,如果不是,请说明理由;(3)已知0b >,函数32()3,f x x x =-+是[0,b]上的2阶收缩函数,求b 的取值范围附加题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.21.(选修4—2:矩阵与变换)已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,属于特征值1的一个特征向量为α2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3-2.求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.22.(选修4—4:坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(为参数),求直线被曲线C 截得的线段长度.23.某中学选派40名同学参加青年志愿者服务队(简称“青志队”),他们参加活动的次数统计如表所示.(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生,求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率;(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE .24.用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含1n +*)(N n ∈个字母的字符串,要求由a 开始,相邻两个字母不同. 例如1n =时,排出的字符串是,,ab ac ad ;2n =时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ,……, 如图所示.记这含1+n 个字母的所有字符串中,排在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a .(1)试用数学归纳法证明:*33(1)(N ,1)4n nn a n n +-=∈≥;(2)现从,,,a b c d 四个字母组成的含*1(N ,2)n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串,字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ,求证:2193P ≤≤.活动次数 2 3 参加人数5 1520参考答案一.填空题(每题5分,共70分) 1.2 2.-1 3. 3 4.3 5.236.①③ 7.22 8..④ 9.32410.[)1,+∞11. 14312. (0,31)t ∈- 13. 512+ 14. 56和9二.解答题(请给出完整的推理和运算过程,否则不得分)15. 解(1) 由题可得()()211f x x a =--++而03x ≤≤......3分 所以,()()11,33m f a n f a ==+==-.................6分 (2)角β终边经过点(),A a a ,则tan 1aaβ==..........10分 所以,tan tan133tan 233131tan tan 3πβπβπβ++⎛⎫+===-- ⎪-⎝⎭-........14分16. (14分)(1)证明:由题意可知,ABCD PD BA ,⊥为正方形, 所以在图中,2,=⊥SA AB SA , 四边形ABCD 是边长为2的正方形, 因为BC SB ⊥,AB ⊥BC ,所以BC ⊥平面SAB , ………………………………3分又⊂SA 平面SAB ,所以BC ⊥SA ,又SA ⊥AB ,所以SA ⊥平面ABCD ,………………………………6分(2)证明:连接BD ,设,BDMN G BDAC O ==, 连接,SG EO ,正方形ABCD 中,因为,M N 分别是线段,AB BC 的中点,所以//MN AC , 且2DO OG =,……………………9分 又SD SE 31=,所以:2DE SE =,所以//EO SG所以平面//SMN 平面EAC 。
……………………………12分17. (14分)解:方案①:共修(8)km a +普通公路和两个立交出入口, 所需资金为150(8)40050(16)A a a =++=+万元; 方案②:取B 关于MN 的对称点'B ,连'AB 与MN 交于K , 在K 修一个出入口,则路程最短,共需资金:222250(8)1220050[(8)1444]A a a =+++=+++万元;方案③:连接AB 沿ABQ 修路,在Q 修一个出入口,共需资金:222350[(8)128]20050[(8)14412]A a a =-+++=-++万元由于8a >,比较大小有123A A A >>,(12分)故选择方案(3). 18. (16分)解:(1)(ⅰ)∵ 圆O 过椭圆的焦点,圆O : 222x y b +=,∴ b c =,∴ 2222b a c c =-=, 222a c =,∴22e =. (ⅱ)由90APB ∠=及圆的性质,可得2OP b =,∴2222,OP b a =≤∴222a c ≤∴212e ≥,212e ≤<.(2)设0()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ,则011011y y xx x y -=--, 整理得220011x x y y x y +=+22211x y b += ∴PA 方程为:21010x x y y b +=, PB 方程为:22020x x y y b +=.从而直线AB 的方程为:200x x y y b +=.令0x =,得2b ON y y ==,令0y =,得2b OM x x ==,∴2222222220022442a y b x a b a b a ON OM b b b ++===,∴2222a b ON OM +为定值,定值是22a b.19. (16分)(1)解:如.2n a n =(答案不惟一,结果应为C Bn An a n ++=2的形式,其中0≠A )(2)解:依题意 ,3,2,1,21==-+n a a n n n所以11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----.22222321n n n n =++++=--- 从面{}n a 是公比数为2的等比数列,所以.2221)21(21-=--=+n n n S(3)①解:由88111212212n n n n n n a b b a b b +--=-⋅=-⋅及,两式相除得111,2n n b b +-= 所以数列{}{}n n b b 212,-分别是公比为21的等比数列由.14724-=-=b b 得 令.23221,161211⋅=⋅-==b b b a n n 得由所以数列{}n b 的通项为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥⋅⋅=--),2()21(14),1()21(2312216是偶数且是奇数且n n n n b nn n ②记数列{}n b 前n 项的积为T n . 令8111,21()1,2n n n b b -+<-⋅<得即811(),13.221n n -<≥解得 所以当n 是奇数时,,1||,1||,1||,,1||,1||1615141312114321<<>>>b b b b b b b b b b 从而.|||||,|||||14121242 >><<T T T T T当n 是偶数时,,1||,1||,1||,,1||,1||1716151413125432<<>>>b b b b b b b b b b 从而.|||||,|||||15131331 T T T T T ><< 注意到121313*********,0,3,T T T b T T T >>==>且 所以当数列{}n b 前n 项的积T n 最大时.13=n20. 解:(1)由题意可得:1()cos ,[0,]f x x x π=∈,2()1,[0,]f x x π=∈。