第1章 极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,( -∞(3) 奇函数 (4)）（101log 2<<-x x x(5) 22+x (6) xe1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x x x x x f 4)(max =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要1.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、 (1) 21- (2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1)23x (2)1- (3)62(4) 1 (5) 4 (6) 1 4、a = 1 b = -1 1.6 极限存在准则 两个重要极限1、(1) 充分 (2) ω，0 (2) 3e －，2e2、(1)32(2) 2 (3) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) C2、(1) 23- (2) 23 (3) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 2 (2) 跳跃 ，无穷 ，可去2、(1) B (2) B (3) B3、21-e4、a =1 ， b = 25、 (1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.10 总习题 1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3)21(4) 2 (5) 2 8-(6) 2 (7) 23(8) 0 1- (9) 跳跃 可去 (10) 2 2、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x x x p P（3）15000=P （元）。

4、(1) x (2)32(3) 21- (4) 1 (5) 1-e (6) 0 (7) e1 (8)21(9)a ln (10)n n a a a 21 (11) 16、x x x x f ++=232)( (提示：b ax x x x f +++=232)(令) 7、a =1 b =21-8、 0=x 和)(2Z k k x ∈+=ππ是可去间断点)0(≠=k k x π是无穷间断点9、1±=x 是跳跃间断点 10、3lim =+∞→n n x11、)(x f 在),(+∞-∞处处连续第2章 导数与微分 2.1 导数的定义 1、(1) 充分， 必要 (2) 充要 (3))(0x f '，)()(0x f n m '+(4) !9- (5) 21x -，x 21，4743--x2、切线方程为12ln 21-+=x y ，法线方程为42ln 2++-=x y4、2=a ， 1-=b5、在0=x 处连续且可导 2.2 求导法则1、(1) xxe x xe 22+ (2) x x1sin 12 (3) 222)1(21x x x +-- (4) 2)ln 1(2x x +-(5)21x x+ (6) x x e e tan -(7)322)(x a x - (8) )()(23x f x f '-2、（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0001cos 1sin 2x x xx x (2) 221xa +(3) 323sin ln cos ln sin 2xx x x x x x x -- (4) )]()([(2222x f x f xe x '+ 3、)(2a ag4、(1) xyxy xexy x y xy y ye -+-)sin(2)sin( (2) y x yx -+(3))3121411(31+-+++x x x 323)12)(1(+++x x x(4) )]1ln(1)1(1[)1(21x xx x x x +-++5、0=-y x6、(1) 212t t- (2) 1-2.3 高阶导数及相关变化率1、 (1) 2)64(3x e x x + ，)(4)(2222x f x x f ''+'(2) )2sin(πnax a n + ， )2cos(πn ax a n + (3) n x a a )(ln ， nn xn )!1()1(1---(4) 1)(!)1(+±-n na x n ， nnn x n x n )1()!1()1()!1()1(1--++---(5) )24cos(212πn x n +-2、 )2sin 2cos 502sin 21225(2250x x x x x -+ 3、(1) ⎩⎨⎧<>0206x x (2) 2 (3)3)1(y y+ (4) 2)cos 1(1t a --(5) )(1t f ''2.4 微分1、(1) 0.110601y ∆=，0.11dy = (2) C x++-11，C x +2 (3)C e x +441 (4) C x n n +++111 (5) C x ++)13sin(312、(1) A (2) B3、(1) dxx xx)33ln 31(232-⋅ (2) dx x x 2tan - (3) dx x f x f x f )]())(cos()21(2['+-'-4、dx y x y x )ln(3)ln(2-+-+5、)cos(22x x ，)cos(2x ，xx 3)cos(222.5 总习题1、(1) 1- (2) ①0>n ，②1>n ，③2>n (3) 1-，1- (4)34cos sin t t t t - (5)32sin cos xx x x - (6))(200x f x ' 2、(1) B (2) B (3)C (4) A (5) B4、(1) x x x x x xcos ln 3ln 3tan 232cot 21-+(2) 113+x (3) x x x x )ln 1(2sin 2ln 2-- (4) 212)(1ln sec a a xx x ax a a a ++⋅- (5) mx x x n x mx m n n sin sin cos cos cos 1⋅⋅-⋅- (6))(2)()(ln 2)()(ln 2)()(ln 22x f x x x f x g x x f x g x x f x xg '-'+(7) ⎩⎨⎧-<><<-222220x x x x 或(8) ])1(2cot 1[21xx e e x x --+xe x x -⋅1sin (9))()(x x ϕψ)()()())(ln()()()(2x x x x x x x ψϕϕψψϕψ'-'(10) 22ln ln x x xy y y xy --(11) )()(2)()(22y f x x yf y f x f y x '+-'-(12) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥+='0,sin 2sin 0,11)(22x x x x x x xx f (13) 2-e (14) 283e (15) θθ4cos sin 31a (16) 3481t t -(17) ])1(1)1(1[!)1(211+++---⋅n n n x x n(18) )24cos(41πn x n +- (19)dx xye x xy xye y yx y x ++--+ 7、)1(21-''=f a ，)1(-'=f b ，)1(f c = 8、2第3章 中值定理与导数应用3.1 中值定理1、(1) 是，2π(2) 4，)2,1)(1,0(),0,1(),1,2(--- 2、(1) B (2) B3.2 洛必达法则1、(1) 1-，4- (2) 12、(1) A (2) C3、(1)21(2) 31 (3) 1 (4) 1 (5)81-3.3 泰勒公式1、(1) )(!!3!2132n n x o n x x x x ++++++ (2) )()!12()1(!3121213---+--++-n n n x o n x x x (3) )()!2()1(!21222n nn x o n x x +-++- (4) )()1(212n nn x o nx x x +-++-- (5) )(12n n x o x x x +++++2、4324()4(11)4(37)4(2156）-+-+-+-+-x x x x3、)()!1()1(3132n n n x o n x x x x +--++-- 4、31,34-==b a3.4 函数的单调性和极值1、(1) (0,2) ，),2()0,(+∞-∞ (2) 531和=x 2、(1) C (2) C (3) A3、(1) 单调递增区间为),3[]1,(+∞--∞ ，单调递减区间为)3,1(-(2) 单调递增区间为),1(+∞e ，单调递减区间为)1,0(e4、极小值为0)0(=y5、23=a ， 21=b7、当e a 1>时，方程无实根；当e a 1=时，方程有一个实根ex =当ea 10<<时，方程有两个实根。

8、最大值为7)2(=-f ， 最小值为21)4(-=-f9、32πV r =，34πV h =3.5 函数图形的描绘1、(1) 凹 ， > (2) 拐点 (3) )4,1(2、(1) C (2) A3、),1(21--e 和),1(21-e 为拐点， 凸区间为)1,1(-， 凹区间为),1()1,(+∞--∞4、23-=a ， 29=b3.6 总习题1、(1) 1 (2) 1-，0 (3) 1 (4) 82±(5) 2 2、(1) A (2) C (3) D (4) D (5) B (6) A （7）B (8) C (9) D7、(1) 121- (2) π2-e (3) 121-(4) 41- (5) 2e -9、 1)0(-=f ，0)0(='f ，37)0(=''f10、2=a ， 1-=b13、(1) 极大值2)0(=f 极小值e e ef 2)1(-=(2) 极大值0)1(=-y 极小值为343)1(⋅-=y15、R 3216、当3-=x 时函数有最小值2717、3318、(1) )2ln ,1(-和)2ln ,1(为拐点， 凸区间为),1()1,(+∞--∞ ，凹区间为)1,1(- (2) 凸区间为)1,0()1,( --∞ ， 凹区间为),1()0,1(+∞-拐点为)0,0(， 1=x ，1-=x 为垂直渐近线方程 ，x y =为斜渐近线方程19、e x 1-=为垂直渐近线 ， e x y 1+=为斜渐近线20、（1）当34316163a b =时该方程有唯一实根 （2）当34316163a b >时该方程无实根1、是同一函数的原函数2、x x cot arc 2arctan 或π+-3、(1)C x x x x +--+2215225 (2) C x e x +-arcsin (3) C x x ++cos (4) C x +tan 214、1ln +=x y4.2 换元积分法4.2.1 第一类换元法1、(1)C x ++ln 21ln 21 (2) C x+-461(3) C x +sin 2 (4) C x ++-)cos 4ln((5) C x +3arcsin 31 (6) C x +32arctan 61(7) C e x ++)2ln( (8) C x +4)(arctan 41(9) C x +--232)1(31 (10) C e F x +--)(2、(1)C x x +-+2949123arcsin 31 (2)C x x ++-)]4ln(4[2122(3)C x x C x +-+2cot 2csc ln tan ln 或 (4) C xx +-ln 14.2.2 第二类换元法1、C x x ++-)21ln(22、C x xx +--212arcsin 214、C x xx +-+-211arcsin 5、C x x++12 6、C x x +-12 4.3 分部积分法1、(1) C x x x ++-2sin42cos 2 (2) C x x x +--1ln 1(3) C x x x x x ++-2ln 2ln 2(4) C x x e x +++--)22(2(5) C x x e x +--)cos (sin 2 (6) C x x x ++)]sin(ln )[cos(ln 22、(1) C x xx x x +-+-2214arcsin 41arcsin 21(2) C x e x +-)1(2 (3)C x x x x +++-cos ln tan 212(4) C x x x x +---cot )ln(sin cot(5) C x x e x ++-)22sin (sin 512 3、C x e x+-)1(4.4 有理函数和可化为有理函数的积分1、C x x x x x x ++---+++1ln 41ln 3ln 8213123 2、C x x ++-+1ln )1ln(212 3、C x x ++-)6ln(481ln 6184、C x xx +-++]sin ln 2tan ln 2)cos 2[ln(315、C x+)3tan 2arctan(3216、C x x ++661ln 64.5 总习题1、 (1) C x +cos (2) C e x x ++ (3) )3(x f2、 (1) C (2) B (3) A (4) D3、(1) C e x +2361 (2) C x x +--tan cot (3) C x +2)tan (ln 41(4) C x x x +-++-23arctan 4)136ln(212(5) C x x x +++⋅-)1ln(44244(6) C x C x+-+1arctan 1arccos 2或 (7)C e e x x ++-+4347)1(34)1(74 (8) C x x x x x ++++++++)34412ln(453444122(9) C x x +--)2arctan 21(2ln 1 (10) C e x +2sin 21(11) C x +2tan 21(12) C x x++cos ln cos 212(13)C x x x +--cot 21sin 22 (14)C x x +--2cos 418cos 161(15)C xx ++2sec 812tan ln 412 (16) C x x x ++-844181arctan 81 (17) C xx x +-ln(18) C x x +-+-2]ln )1[ln(21 (19) C x +)ln(sin ln(20)C x x x x ++-+--)4cot()4csc(ln 221)cos (sin 21ππ (21) C x x x ++-tan ln 2)sin 1cos 1(2122(22) C x x x x x ++-+--)1ln(21ln )(arctan 21arctan 122(23) C x xf +)(sin4、C e x ee x xx ++-++-)1ln()1ln( 5、⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++=⎰1112)1()(22x C x x C x dx x f6、C x x +---)1ln(2127、C x x +-+1ln2 8、2C第5章 定积分及其应用5.2 定积分的性质1、(1) 0 (2) 1 (3) 23(4) 24R π (5)⎰+512)12(dx x2、(1) D (2) C3、⎰21ln xdx 较大4、⎰+10211dx x 5、41022222---≤≤-⎰e dx e e xx 5.3 微积分基本定理1、(1)101±(2)t cot - (3))(a af (4) )41,0( (5) 02、(1) A (2) A (3) B3、1sin cos -x x 4、315、(1) 41π+ (2) 1ln 1+-a ae (3) 4 (4) 3346、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=ππx x x x x F ,10),cos 1(210,0)( 7、a = 4 ，b = 15.4 定积分的换元积分法与分部积分法5.4.1 定积分的换元积分法1、(1) 232- (2) 211--e(3) 26-+e e(4) 6483π(5) π1652、(1) D (2) A3、(1) 41π-(2)23ln 2311- 5.4.2 定积分的分部积分法1、(1)1 (2)44ln 4- (3)π (4)1582、(1)214-π(2) 2ln 31 (3))11cos 1sin (21+-e e(4))2(51-πe (5) 214-π3、05.5 广义积分1、(1)发散 (2)a1 (3)发散 (4) -1 (5) 322)1(23-e (6)发散 2、(1) 0 (2) 2π (3) )32ln(2++π 3、时当1>k ⎰+∞2)(ln k x x dx 收敛，时当1≤k ⎰+∞2)(ln k x x dx发散 5.6 定积分的几何应用 1、(1) 29(2) 6a (3) ⎰b a dx x xf )(2π2、2316-+π3、23ln 211+ 4、π7128,π564 5、290π5.7 定积分的物理应用1、g πρ18752、44gR ρπ3、g ρ724、g ρ1685.8 总习题1、(1) 0 (2) 1 (3) e22- (4) 0 (5)25(6) 23ln(7))32ln(6++ (8)24π (9)8 2、(1) D (2) A (3) D (4) C (5) B3、(1) 61- (2) 121 (3) yx y x y 2)(cos )(cos 122---+ (4)432x e x - (5) 23810-(6) π12835(7) 2π (8)463ππ- (9)21 (10) 34(11) 2ln 418-π (12)ee e +++12ln1 (13) 4π (14) 16π (15)2ln 21- (16)51 (17)4π(18)发散 (19) 316-e(20) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=243211,421,41)(22x x x x xx x x x F 10、2112、22-π 13、2ln =a 14、4π，2π15、334+π16、 1 17、6π18、)(7273732为比例常数k a kc19、g r 434π第6章 常微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程1、(1) 33x Cey -= （2）222)1)(1(Cx y x =++(3) C x x y =++)1(22、(1) Cx xe y = (2) 333y x Ce y =6.2.2 一阶线性微分方程1、(1) )(C x e y x +=- (2) )1(12+=yCe y x 2、(1) )(213x x y += (2) 1sin 2sin -+=-x e y x 3、53525Cx x y +=- 4、)cos (sin 21)(x e x x x f --+=6.2.3 几类可降阶的高阶微分方程1、(1) 21)(C e x C y x +-=- (2) 21)cos(ln C C x y ++-=2、(1) xy 11+= (2) 1)1(+-=x e y x6.3 高阶线性微分方程6.3.1 高阶线性微分方程解的结构 1、2)(21x e x C C y += 2、1)1()1(221+-+-=x C x C y 6.3.2 常系数线性微分方程1、(1) xxeC eC y 3231-+= (2) xeC C y 421+=(3) xxe C e C y )21(2)21(1-++=(4) )23sin 23cos(2121x C x C ey x +=- (5) x e x C C y λλ-+==)(,1212时当xxe C e C y )1(2)1(1222,1----+-+=>λλλλλ时当)1sin 1cos (,122212x C x C e y x λλλλ-+-=<-时当(6) x C x C C y sin cos 321++= (7) x x e x C C e x C C y 24321)()(-+++= 2、(1) =*y )sin cos (x b x a e x +(2) =*y ]2sin )(2cos )[(4x d cx x b ax xe x +++ (3) =*y )(23c bx ax xe x ++ (4)=*y x d cx x b ax sin )(cos )(+++(5) x e dx x b ax Ce x sin )(cos )(++++ 3、(1) )1(41)(221x e x C C y x +++= (2) )cos (sin 2121x x e C C y x +-+=- (3) xx e e x C C y 2221161)(-++=4、(1) x x y cos 813cos 241+= (2) )sin (x x e y x -=-6.3.3 欧拉方程1、 x x C x C y 212231++= 2、 )sin(ln 21)]ln 3sin()ln 3cos([21x x x C x C x y ++=6.4 总习题1、(1) 211ln(1)ln 222xy e =++- (2))sin(x y Ce x =(3) 2321y Cy x += (4) xCx x x y +-=-ln 23 (5) 212111ln 1C x C C C x y ++-=(6) 1)1(=-y x2、(1) 43161)(2221+++=-x x e e x C C y(2) x x C x C e y x 2cos 263)23sin 23cos (2121++=- 212sin 131+-x(3) 421)2343(2x x xe e x e x y -+++= (4) x xe y x sin 2=《高等数学》同步练习册（上）3、1ln )(+=x x f4、x e x f 2)(-=5、)(2x C x y -=6、]1,0[,156)(2∈++-==x x x x f y7、x xx x f cos 2sin 21)(+=高等数学(上)期中模拟试卷(一)一、1. C 2. B 3. C 4. B 5. B 二、1.41 2. 313. x xe 244. 05. )90609(3238++x x e x6. dx ee21+ 7. (-2,0) (0,2) (-∞,0)三、1.21 2. 213.)1cos ln 1sin 1(1121sin2xx x x x xx x-++ 4. 切线方程2πe y x =+ 四、3lim =+∞→n n x五、 当e 1>β时原方程无实根 当e 1=β时原方程有唯一实根 当e1<β时原方程有两个相异实根七、当半径r R 2=时体积最小参考答案高等数学(上)期中模拟试卷(二)一、1. B 2. B 3. C 4. B 5. C 二、1. 4ln 2. 0 1 3. e 4. 10)1(!9x -5. dx x xx x x x )sin ln (cos sin +6. (-∞,0) ),21(21-±e 三、1. 1 2. 61-e 3. 切线方程1+=x y四、251+ 五、当ea 1>时原方程无实根 当e a 1=时原方程有唯一实根当01≤<a e a 且时原方程有唯一实根当e a e a 101<<<且时原方程有两个相异实根七、H R 2274π高等数学(上)期末模拟试卷(一)一、1. B 2. B 3. D 4. C 5. D 二、1. 22ππa x y =+2. (b ,+∞) ，(b ,a )3. 14.34π5. )(C e x y x += 三、1. 21-e 2. C x x e x ++--)cos (sin 23. )12(4-4. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤=216722103)(23x x x x x x F ，，六、4250gr π七、1. Cx x y +=2 2. 133++=x x y 八、x x x e x f x 231)(23+-+=- 高等数学(上)期末模拟试卷(二)一、1. D 2. A 3. A 4. C 5. D 二、1.)2,2(2e2.2-3.2ln 32-4. 15.052=+'+''y y y 三、1. e 2. 0 ，-2 3.C x x ++212arctan 21 4. 324ln - 四、当k < 0时原方程无实根，当k = 0时原方程有唯一实根， 当k > 0时原方程有两个相异实根 六、)(5.247KJ 七、x y arcsin =八、x x x e x x e e x y ----+-=)63(78)(2。